Resumen_de_Algebra_MATII

Resumen de Álgebra. Matemáticas II.

ÁLGEBRA
1.- RESOLUCIÓN DE SISTEMAS. MÉTODO DE GAUSS
El método Gauss consiste en convertir la matriz asociada a un sistema de ecuaciones en
otra matriz equivalente triangular superior, “haciendo ceros” debajo de la diagonal
principal.
 a11 a12 a13 b1  α⋅F ±β⋅F
 a b c g




i
j
...  0 d e h 
→
 a21 a22 a23 b2 




 a31 a32 a33 b3 
 0 0 fi
Para ello se utilizan tres tipos de transformaciones elementales:
o Intercambiar filas.
o Sumar y/o restar filas.
o Multiplicar filas por un número para luego sumarlas o restarlas.
Es importante seguir un orden para “no estropear los ceros ya conseguidos”. Por
ejemplo, en un primer paso se puede hacer ceros los términos a21 y a31, y en el
siguiente, el término a32.
Una vez conseguida la matriztriangular superior, se transforma en ecuación la tercera
fila para calcular z; después se sustituye este valor en la ecuación correspondiente a la
segunda fila averiguando el valor de y; y finalmente, se sustituyen ambos valores en la
ecuación asociada a la primera fila para obtener x.
Con el método de Gauss también se pueden discutir (clasificar) sistemas de ecuaciones,
estudiar el rango deuna matriz o calcular su inversa (método de Gauss-Jordan); pero,
en general, resulta más cómodo utilizar determinantes.
Método de Gauss-Jordan.- Consiste en considerar la matriz identidad, I, adosada a la
derecha de la matriz A y, mediante transformaciones elementales, conseguir que la
matriz identidad quede situada a la izquierda, obteniendo así la matriz inversa adosada
a su derecha:

(A I)Transforma ciones elementales

−−−−−−−−−−−−−−→

(I

A−1

)

2.- RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Normalmente se trata de resolver un problema de enunciado con tres incógnitas.
Debemos definirlas correctamente, plantear un sistema de tres ecuaciones y
resolverlo por el método de Gauss o aplicando la regla de Cramer. Finalmente se
interpreta la solución obtenida. En principio no procede aplicar el Tma deRouchéFröbenius porque se supone que la solución es única (compatible determinado). Otras
veces debemos plantear ecuaciones que dependen de algún parámetro; en estos casos
sí es preciso estudiar cuándo tienen solución.

Departamento de Matemáticas. IES Atenea. San Sebastián de los Reyes.

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3.- MATRICES QUE CONMUTAN
El ejercicio suele consistir en calcular uno o másparámetros para que el producto de
dos matrices A y B sea conmutativo. Para resolverlo, calculamos las matrices A ⋅ B y
B ⋅ A , e imponemos como condición que ambas sean iguales: A ⋅ B = B ⋅ A . Igualando
término a término, normalmente generaremos un sistema de ecuaciones, y
resolviéndolo, conseguiremos la solución.

4.- GRANDES POTENCIAS DE UNA MATRIZ
Dada una matriz cualquiera, A, nos puedenpedir calcular:
o
o

Una gran potencia de esa matriz, por ejemplo, A124 .
Su n-ésima potencia, es decir, An.

En ambas situaciones debemos ir calculando las sucesivas potencias de A: A2, A3,...
En el primer caso llegará un momento en que volvamos a obtener A o la matriz
identidad, I, con lo que, aplicando la regla de la división y las propiedades de las
potencias, resulta sencillo decidir cuál es lamatriz A124.
En el segundo caso debemos analizar como van evolucionando los términos de las
sucesivas matrices para dejarlos en función de n, como término general de una
sucesión.

5.- USO DE MATRICES PARA PROBLEMAS DE ENUNCIADO
Se trata de utilizar matrices como forma de representación de situaciones de
contexto real, y hacer las operaciones adecuadas entre ellas (suma, transposición,producto,...). Para hacer estas operaciones es imprescindible tener en cuenta las
dimensiones de cada matriz y los conceptos que representan cada una de esas
dimensiones.

6.- CÁLCULO DE DETERMINANTES
o Determinantes de orden tres (regla de Sarrus):
a11 a12 a13

a21

a22

a23 = a11 ⋅ a22 ⋅ a33 + a12 ⋅ a23 ⋅ a31 + a21 ⋅ a32 ⋅ a13 − a13 ⋅ a22 ⋅ a31 − a12 ⋅ a21 ⋅ a33 − a23 ⋅ a32 ⋅ a11

a31

a32

a33

o...