Resumen de sistemas de ecuaciones

1. Sistema de ecuaciones
1.1. Ecuaciones simultáneas

Dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas son simultáneas cuando se satisfacen para iguales valores de las incógnitas.

Así las ecuaciones: x+y = 5
x- y = 1

son simultaneas porque x = 3, y = 2 satisfacen ambas ecuaciones.

Ecuaciones Equivalentes
Son las que se obtienen una de la otra.

Así, x + y = 42x+2y=8
son equivalentes porque dividiendo por 2 la segunda ecuación de la primera.

1.2. Sistema de ecuaciones
Es una reunión de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas.
Así, 2x+3y=13
4x- y = 5
es un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.
Solución de un sistema de ecuaciones es un grupo de valores de las incógnitas que satisfacetodas las ecuaciones del sistema. La solución del sistemas de ecuación anterior es x= 2, y= 3.
Un sistema de ecuaciones es posible o compatible cuando tiene solución y es imposible o incompatible cuando no tiene solución.
Un sistema compatible es determinado cuando tiene una sola solución e indeterminado cuando tiene infinitas soluciones.

1.2.1. Sistemas de ecuaciones simultaneas de primergrado con dos incógnitas.

Para resolver un sistema de esta clase es necesario obtener de las dos ecuaciones dadas una sola ecuación con una incógnita. Esta operación se llama Eliminación.

1.2.2. Métodos de eliminación más usuales.

I. Eliminación por igualación.
Resolver el sistema 7x+4y=13 (1)
5x-2y =19 (2)
Despejamos una cualquiera de lasincógnitas, por ejemplo x, en ambas ecuaciones.

Despejando x en (1): [pic]
Despejando x en (2); [pic]
Ahora se igualan entre i los dos valores de x que hemos obtenido:

[pic]
Y ya tenemos una sola ecuación con una incógnita; hemos eliminado la x. Resolviendo esta ecuación:

[pic]Sustituyendo este valor de y en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en (1), se tiene que:
[pic] R [pic]

II. Eliminación por sustitución

Resolver el sistema 2x+5=-24 (1)
8x-3y=19 (2)

Despejamos una cualquiera de las incógnitas, por ejemplo x, en una de las ecuaciones. Vamos adespejarla en la ecuación (1). Tendremos;
[pic]
Este valor de x se sustituye en la ecuación (2)
[pic]
Y ya tenemos una ecuación con una incógnita; hemos eliminado la x.
Resolvamos esta ecuación. Simplificado 8 y 2, queda:
[pic]
Sustituyendo y=-5 en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en (1) se tiene:
[pic] R. [pic]III. Método de reducción

Resolver el sistema [pic]

En este método se hacen iguale los coeficientes de una de las incógnitas.

Vamos a igualar los coeficientes de y en ambas ecuaciones, porque es el más sencillo.

El m.c.m. de los coeficientes de y, 6 y 3, es 6. Multiplicamos la segunda ecuación por 2 porque 2x3 = 6, y tendremos:

[pic]

Como los coeficientes de yque hemos igualado tienen signos distintos, se suman estas ecuaciones porque con ello se elimina la y:
[pic]

Sustituyendo x=-2 en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en (1), se tiene:

R.[pic]

IV. Por determinantes

Si del producto ab restamos el producto cd, tendremos la expresión ab – cd.
Esta expresión puede escribirse con la siguiente notación:
[pic]

Laexpresión [pic] es una determinante.
Las columnas de una determinante están constituidas por las cantidades que están en una misma línea vertical. En el ejemplo anterior[pic] es la primera columna y [pic] la segunda columna.
Las filas están constituidas por las cantidades que están en una misma línea horizontal. En el ejemplo dado, a d es la primera fila y \c d la segunda fila.
Una...