resumen funciones

FUNCIONES
El concepto de función es una de las ideas fundamentales en matemáticas. Casi
cualquier estudio que se refiera a la aplicación de las matemáticas a problemas
prácticos o que requiera el análisis de datos empíricos emplea este concepto
matemático.
Una función expresa la idea de que una cantidad depende o está determinada por
otra. Los ejemplos siguientes aclaran esta idea:
1)
Elárea de un círculo depende de la longitud de su radio, si se conoce la
longitud del r
adio, podemos determinar el área. Decimos que el área es una
función del radio.
2)
La cantidad de cierto artículo que el fabricante ofrecerá depende del
precio que pueda lograr. La cantidad es una función del precio.
Definición: Una función f de A en B es una regla que asigna a cada elemento x
del conjuntoA una única imagen f (x) en el conjunto B.
Si y = f (x) diremos que y es el valor de función f en x, es decir y es la imagen de
x mediante la función f
Ejemplo Si f (x) = 3x 2 − 5 x + 4 entonces la imagen para x = -2 se escribe
f (-2) = 3 (− 2) 2− 5 (− 2) + 4
f (-2) = 26
Consideraremos funciones para las cuales los conjuntos A y B son subconjuntos
de los números reales, de allí el nombrede funciones reales o funciones reales
de variable real.
Si una función f se expresa por una relación del tipo y = f (x) entonces x se
denomina la variable independiente; y se denomina la variable dependiente
El conjunto A se denomina dominio de la función . El recorrido de f corresponde
al conjunto de todas las imágenes cuando x varía dentro del dominio.
Si una función f se expresa por unarelación del tipo y = f (x) entonces el
dominio de la función es el conjunto de todos los números reales para los cuales
la fórmula f (x) represente un real.

Ejercicio Encuentre el dominio de la función

f (x ) =

1
2−x

Solución Como la división por cero no está definida, entonces f ( x ) no está
definida en x = 2 . Por lo tanto el dominio de f es { x ∈IR / x ≠ 2 }, lo cual escritoen lenguaje de intervalos corresponde a ] − ∞, 2 [ ∪] 2, ∞ [
Tipos de Funciones de variable real
Es útil conocer la gráfica, dominio y recorrido de algunas funciones que son de
uso frecuente
Función Polinomial Se define como

P (x ) = an x n + an −1x n−1 + . . . + a 2 x 2 + a1 x + a0

donde n es un entero no negativo y los números ao , a1 , . . . , an son constantes
llamadas coeficientesde los términos del polinomio. Si an ≠ o entonces el grado
del polinomio es n. El dominio de cualquier función polinomial es IR.
Analizaremos algunos casos especiales
a) Función constante Se define como f (x) = k ; donde k es una constante ,
k∈ IR
Tiene como dominio a los IR y su recorrido es {k }. Su gráfica es una recta
horizontal paralela al eje X

Ejemplos i) h (x) = -3

ii) g (x) =3
4

Ejercicio Graficar la función f (x) = 3
Solución Sabemos que Dominio de f = IR; Recorrido de f = {3} entonces su
gráfica es

b) Función Lineal o de primer grado
Se define como f (x) = ax + b ; donde a, b constantes
Su gráfica es una línea recta y basta conocer dos puntos de ella para trazarla
Ejemplos i) f (x) = 3x + 7
ii) g (x) = 4 – 5x
iii) h (x) = x
Ejercicio 1) Graficar f(x) = x es decir y = x llamada función idéntica
Solución Dominio de f = IR;
Recorrido de f = IR
La recta intersecta a los ejes coordenados en el punto ( 0,0 )

Esta recta y = x es la bisectriz del primer y tercer cuadrante.
Ejercicio 2) Graficar f (x) = 4 – 5x
Solución Dominio de f = IR;
Recorrido de f = IR
Si x = 0 ⇒ y = 4; es decir la recta intersecta al eje y en 4
Si y = 0

⇒ x=5
5
; es decir la recta intersecta al eje x en
4
4

c) Función Cuadrática o de segundo grado
Se define como f (x) = a x 2 + b x + c donde a, b, c son constantes y a ≠ 0
Su gráfica es una parábola, previamente a trazarla, es útil conocer los puntos
donde la gráfica intersecta al eje X y las coordenadas del vértice de la parábola
Ejemplos i) f (x) = 3x 2 − 5 x + 2

ii) g (x) = 6 − 2...