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Integrante (o de integración) de la ecuación (3). Por supuesto, para que este método sea eficaz debe ser posible calcular el factor integrante directamente a partir de la ecuación diferencial. Acontinuación, se debe abordara esta cuestión en el contexto de la ecuación más general (2). En el análisis anterior sugiere que una manera posible de resolverla ecuación lineal general de primerorden (2), Y’ + p(x) y = g (x)
Es multiplicar por un factor integrante adecuado y llevarla en consecuencia a una forma integrable.Para encontrar ese factor integrante primero se multiplica la ecuación (2)por una función µ (x) , que por el momento no esta determinada . Entonces se tiene µ (x) y’+ µ (x) p(x) y= µ (x)g(x). (10)
El objetivo es elegir µ (x) de modo que el primer miembro de la ecuación (10) sea laderivada de alguna función. El termino µ (x) y’ sugiere que la función deseada podría ser del producto . µ (x) Y` .A fin de obtener la combinación [µ(x) y ‘= µ’(x) y + µ(x) y’ es necesario su suma yrestar el termino µ`(x)y en el primer miembro de la ecuación (10);al hacerlo y agrupar los términos de manera conveniente, se obtiene [µ’(x) y + µ(x) y’] -[µ(x)- p(x) µ(x)] y = µ(x) g (x). (11)
Ahora, si el segundo término del primer miembro de la ecuación (11) fuese cero, entonces esta ecuación tendrá la formaµ(x) y]’ = µ(x) g (x), (12)
Y el primermiembro (por lo menos) seria fácilmente integrable. A fin de lograr lo anterior, debe elegirse µ de modo que µ’(x)-p(x) µ(x)0....