Rienman

Introducci´n a las Superficies de Riemann o
Antonio Alarc´n L´pez o o Enero de 2005

1.

Primeras definiciones y resultados elementales

Definici´n 1.1 Llamaremos superficie de Riemann a una superficie diferenciable o con un atlas holomorfo. Veamos algunos ejemplos sencillos: 1. C, B = {(C, 1C )}. 2. C = C ∪ {∞}, B = {(C, 1C ), C \ {0}, z →
1 z

}.

3. Todo abierto de una superficie de Riemann es unasuperficie de Riemann. Teorema 1.1 Toda superficie de Riemann es orientable. Demostraci´n. Sean (V, φ) y (W, ψ) dos cartas en una superficie de Riemann M , de o manera que V ∩ W = ∅. Entonces, donde se puede componer, φ ◦ ψ −1 (x, y) = u(x, y) + i v(x, y) es holomorfa, luego verifica las ecuaciones de Cauchy-Riemann: ux = v y uy = −vx . En consecuencia, Jac(φ ◦ ψ −1 ) = ux vy − uy vx = u2 + u2 > 0,luego, es posible x y encontrar un recubrimiento de M por abiertos coordenados de forma que el cambio de cartas siempre tenga jacobiano positivo. 2 Definici´n 1.2 Una aplicaci´n entre superficies de Riemann diremos que es holoo o morfa si lo es al componer con cartas. 1

Dada una superficie de Riemann M , los principales teoremas cl´sicos sobre funa ciones holomorfas se pueden trasladar al C-´lgebra delas funciones holomorfas de a M en C. Teorema 1.2 (de la singularidad evitable) Sean U un abierto de M , a ∈ U y f holomorfa en U \{a}. Si f est´ acotada en un entorno de a, entonces existe f a holomorfa en U con f = f en U \{a}. Demostraci´n. Tomamos una carta (U, φ) y aplicamos el teorema de la singularidad o evitable cl´sico para f ◦ φ−1 . a 2 Teorema 1.3 (de identidad) Sean M y N superficiesde Riemann con M conexa y f, g : M → N dos aplicaciones holomorfas. Si el conjunto de puntos donde f y g coniciden tiene puntos de acumulaci´n entonces f y g coninciden en todo M . o Demostraci´n. El conjunto G = {p ∈ M : ∃V (p) entorno de p tal que f ≡ g en o V (p)} es abierto y cerrado. Adem´s, el teorema de identidad cl´sico asegura que G a a es no vacio, luego, G = M . 2 Teorema 1.4 (de laaplicaci´n abierta) Sea f : M → N una aplicaci´n holoo o morfa y no constante entre superficies de Riemann. Entonces f es abierta. Teorema 1.5 (principio del m´ximo) Sea f : M → C holomorfa y no constante. a Entonces |f | no alcanza su m´ximo. a Demostraci´n. Supongamos a ∈ M con |f (a)| ≥ |f (x)| ∀x ∈ M . De esta forma, o f (M ) ⊆ B(0, |f (a)|) y f es abierta, luego, f (M ) ⊂ B(0, |f (a)|). Enconsecuencia, |f (a)| < |f (a)|. 2 Corolario 1.1 Sean M una variedad de Riemann compacta y f : M → C holomorfa. Entonces f es constante. Teorema 1.6 (de Liouville) Sea f : C → C holomorfa y acotada. Entonces f es constante. Definici´n 1.3 Una funci´n meromorfa en una superficie de Riemann M es una o o funci´n holomorfa f : M → C que no es constantemente ∞. o Si f es meromorfa entonces por el principio deidentidad, f −1 ({∞}) es discreto y cerrado, luego, M = M \f −1 ({∞}) es un abierto. Definici´n 1.4 Se llaman polos de f a los puntos de f −1 ({∞}). o 2

Sean M una superficie de Riemann, p ∈ M , 0 ∈ Ω ⊂ C un dominio y α : Ω → M una aplicaci´n holomorfa con α(0) = p. Definimos o α (0) : O(M, p) −→ C α (0)(f ) = (f ◦ α) (0), donde O(M, p) denota al conjunto de g´rmenes de funciones holomorfas en p.Clae ramente, α (0) es una derivaci´n sobre O(M, p). o Definici´n 1.5 Se define el espacio tangente holomorfo a M en p como Tp M = o {α (0) : α es una curva holomorfa con α(0) = p}. Sea (V, z) un entorno coordenado alrededor de p. Llamamos −1 (z ) (0). De este modo, dada β (0) ∈ Tp M tenemos
∂ ∂z p

a la derivaci´n o

β (0)(f ) = (f ◦ β) (0) = (f ◦ z −1 ◦ z ◦ β) (0) = β (0)(z) · Por tanto, Tp M es unespacio vectorial complejo generado por dimensional.

∂f ∂z

.
p

∂ , ∂z p

luego, 1-

Definici´n 1.6 Un campo holomorfo sobre una superficie de Riemann M es una o aplicaci´n que asigna a cada p ∈ M un vector X(p) ∈ Tp M de manera que si (V, z) o ∂ es una carta en M entonces X = f · ∂z en V siendo f holomorfa en V . Definici´n 1.7 Dada φ : M → N una aplicaci´n holomorfa entre superficies de o o...