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Una recta tangente a una curva en un punto, es una recta que al pasar por dicho punto y que en dicho punto tiene la misma pendiente de la curva. La recta tangente es un caso particular de espaciotangente a una variedad diferenciable de dimensión.
Sea una curva, y un punto regular de esta, es decir, un punto no anguloso donde la curva es diferenciable, y por tanto en la curva no cambiarepentinamente de dirección. La tangente a en es la recta que pasa por y que tiene la misma dirección que alrededor de .
La tangente es la posición límite de la recta secante () (el segmento se llamacuerda de la curva), cuando es un punto de que se aproxima indefinidamente al punto (se desplaza sucesivamente por. Si representa una función f (no es el caso en el gráfico precedente), entoncesla recta tendrá como coeficiente director (o pendiente):
Donde son las coordenadas del punto y las del punto. Por lo tanto, la pendiente de la tangente TA será:
Es, por definición, f '(a), laderivada de f en a.
La ecuación de la tangente es: La recta ortogonal a la tangente que pasa por el punto se denomina recta normal y su pendiente, en un sistema de coordenadas orto normales, es dadapor. Siendo su ecuación: Suponiendo claro está que. Si entonces la recta normal es simplemente. Esta recta no interviene en él
Calcular los puntos en que la tangente a la curva y = x3 − 3x2 − 9x + 5es paralela al eje OX.
y' = 3x2 − 6x − 9; x2 − 2x − 3 = 0 (simplificando por 3)
x1 = 3 y1 = −22
x2 = −1y2 = 10
A (3, −22) B (−1, 10)
Se ha trazado una recta tangente a la curva y= x3, cuyapendiente es 3 y pasa por el punto (0, −2). Hallar el punto de tangencia.
Sea el punto de tangencia (a, f(a))
f' (x)= 3x2f' (a)= 3a2
3a2=3a = ±1
Las ecuaciones de las rectas tangentes son:
a = 1f(a) = 1
y − 1 = 3(x − 1) y = 3x−2
a = −1 f(a) = −1
y + 1= 3(x + 1) y = 3x + 2
El punto (0, −2) pertenece a la recta y = 3x − 2.
Por tanto el punto de tangencia será (1, 1).
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