rotacion

Donde:
\mathbf{r} = (x,y,z), \mathbf{r}' = (x',y',z')
\mathbf{u} = (u_x,u_y,u_z)
C=\cos(\theta/2), S=\sin(\theta/2)
Puede comprobarse con un poco de álgebra rutinaria que la matriz anterior tiene como autovalores:
\{1, C+iS, C-iS\}= \{1, e^{i\theta}, e^{-i\theta}\}
La dirección principal (recta generada por un vector propio) asociaciada al autovalor 1 es precisamente el vector \scriptstyle\mathbf{u} que da la dirección de eje de giro.
Expresiones vectoriales[editar · editar fuente]
Se puede describir el movimiento de rotación cónica con operadores vectoriales que, al contrario que las expresiones matriciales, son independientes de las coordenadas. Así,3
\mathbf{r}' = ((1 -\cos \theta)\mathbf{uu}+ \cos \theta + \mathop{\mathrm{sen}} \theta \tilde{\mathbf{u}}) \cdot \mathbf{r}donde la expresión entre paréntesis funciona como operador y \tilde{\mathbf{u}}= \mathbf{I}\times \mathbf{u}, de modo que \tilde{\mathbf{u}}\cdot \mathbf{r}=\mathbf{u}\times\mathbf{r}4 . Hay ciertos casos especiales de este operador:
\tilde{\mathbf{u}} es una rotación plana de (1/2)π rad. La aplicación sucesiva de este operador da \tilde{\mathbf{u}}^2=-1, \tilde{\mathbf{u}}^3=-\tilde{\mathbf{u}},\tilde{\mathbf{u}}^4=1, \tilde{\mathbf{u}}^5=\tilde{\mathbf{u}}, etc., con un comportamiento parecido a la unidad imaginaria (i)5 . Es un operador hemisimétrico y en coordenadas castesianas su matriz es:

\begin{pmatrix}
{0} & -u_z & u_y\\
u_z & {0} & -u_x\\
-u_y & u_x &{0}\\
\end{pmatrix}
\cos \theta + \sin \theta \tilde{\mathbf{u}} es una rotación plana de ángulo θ. Una notaciónalternativa es \mathrm{e}^{\tilde{\mathbf{u}}\theta} (por similitud con los números complejos). La forma matricial de este operador en los ejes cartesianos principales es particularmente sencilla; por ejemplo, para i es:
\mathcal{R} =
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & -\sin \theta \\ 0 & \sin\theta & \cos \theta\end{bmatrix}
2\mathbf{uu}-1 es una rotación cónica binaria (de π rad). Unarotación cónica arbitraria de ángulo θ se puede representar con dos rotaciones binarias, perpendiculares a \mathbf{u} y que forman un ángulo (1/2)θ6 ; la manipulación de este par de rotaciones binarias (o, de modo equivalente, de dos reflexiones) se puede tomar como la base para la descripción mediante los parámetros de Euler-Rodrigues. Así, el segundo de estos ejes se obtiene mediante unarotación plana del primero con \cos \frac{1}{2}\theta + \mathop{\mathrm{sen}} \frac{1}{2}\theta \tilde{\mathbf{u}}, que da los cuatro parámetros:

\lambda =u_x \mathop{\mathrm{sen}} \theta/2\qquad
\mu =u_y \sin \theta/2\qquad
\nu=u_z \sin \theta/2\qquad
\rho = \cos\theta/2
Ángulos de Euler[editar · editar fuente]
Artículo principal: Ángulos de Euler.
Mediante los ángulos de Euler se puederepresentar una rotación cualquiera con una sucesión de tres rotaciones planas alrededor de tres ejes ortogonales. No hay acuerdo sobre los tres ejes concretos y en la literatura científica aparecen diversos convenios; hay, en concreto, 12 posibilidades, pero lo más habitual es que se tomen zyz y zxz. A estos 12 convenios hay que añadir posibles variaciones en el signo, orientación relativa de ejes(horario o antihorario) y punto de vista (operación en vectores o transformación de coordenadas)7 .
Los ángulos de Euler fueron el sistema más popular en los siglos XIX y XX para representar las rotaciones, pues permiten modelizar fácilmente varios sistemas mecánicos, como los trompos, los giroscopios, los barcos y los aviones. En el caso del trompo, los ejes se corresponden con la precesión, lanutación y la rotación. En los aviones se toman como ejes xyz, de modo que se correspondan con el alabeo (o balanceo en barcos), el cabeceo y la guiñada; este convenio específico de ejes se llama también ángulos de navegación o de Tait-Bryan.
Los ángulos de Euler presentan una singularidad cuando el ángulo del segundo giro es 0 o π, pues en tal caso el primer ángulo y el segundo pasan a quedar...