ruffini

División de polinomios
Te proponemos ahora que, dados los polinomios:
D(x) = 6x 3 − 17 x 2 + 15 x − 8
d(x) = 3x − 4
determines, si es posible, dos polinomios, uno cociente c(x) y otro resto r(x) tales que
D(x) = d(x).c(x) + r(x) de modo que grado r(x) < grado d(x) o bien r(x) = Op(x).
Recuerda que en general
utilizabas una disposición
similar a ésta para efectuar el
cociente.

6x 3 −17x 2 + 15x − 8
− 6x + 8x
3

3x - 4
2x 2 − 3x + 1

2

0x 3 − 9x 2 + 15x
9x 2 − 12x
0x 2 + 3x − 8
− 3x + 4

Observa que el polinomio resto
tiene grado cero y que se
verifica

0x − 4
por lo tanto c(x) = 2x2 – 3 x + 1
r(x) = - 4

Verifica que:

grado r(x) < grado d(x)

6x 3 − 17x 2 + 15x − 8 =

(

)

= (3x − 4) 2x 2 − 3x + 1 + (− 4 )

Algoritmo de la DivisiónTeorema:
Dados los polinomios D(x) y d(x) con d(x) ≠ Op (x) existen y son únicos
dos polinomios c(x) y r(x) tales que D(x) = d(x).c(x) + r(x) siempre que
grado r(x) < grado d(x) o bien r(x) sea igual al polinomio
nulo

EJEMPLO
D(x) = 6 x3 – 17 x2 + 15 x – 8
d(x) = 3 x – 4
c(x) = 2 x2 – 3x + 1
r(x) = - 4
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EJERCICIO:
Utilizando la disposición práctica de
tu preferencia efectúa lassiguientes
divisiones:
Cuidado!!
La división termina cuando el grado
de r(x) es estrictamente menor que el
grado del divisor d(x) o r(x) = Op (x)

a) D(x) = 4x 5 + 2x 3 − 24x 2 + 18x
d(x) = x 2 − 3x
b)D(x) = 4x 4 + 2x 3 − 24x 2 + 18x
d(x) = x 2 + 3x
c)D(x) = 16x8 + 24x 6 + 9x 4
d(x) = 4x 5 + 4x 4 + 3x 3 + 3x 2
d)D(x) = 2x 4 − 6x 3 + 7x 2 − 3x + 2
d(x) = x − 2

En cada caso explicitacuáles son los
polinomios cociente y resto y escribe
la relación que liga a éstos con los
polinomios dividendo y divisor.

En el caso en el que tengamos que dividir el
polinomio (x – 1) por ( x2 + 4 ) bastará con
tomar c(x) = Op(x) y r(x) = x – 1.
Verifica que ésta es la única solución
posible.

En el caso particular en que el polinomio
resto sea el polinomio nulo, se dice que el
polinomioD(x) es divisible por d(x) o bien
que d(x) divide a D(x). Por lo tanto:

DEFINICIÓN
Dados los polinomios D(x) y d(x), d(x) ≠ Op(x), diremos
que d(x) divide a D(x) si y sólo si existe un polinomio
c(x) tal que:
D(x) = d(x) . c(x)

En los ejercicios arriba propuestos ¿encontraste algún par de polinomios tales que
uno de ellos sea divisible por el otro?
Dados los polinomios P(x) y Q(x)investiga si uno de ellos es divisible por el otro.

a) P(x) = x 4 − 2x 3 + x 2 − 5 x + 1
Q(x) = x 3 + x 2 + x + 1
b) P(x) = x 4 + 2x 3 + 4x 2 + 8x + 16
Q(x) = x 5 − 32

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Un caso particular de la división de un polinomio por otro de la forma x – a.

El gran matemático italiano, Pablo Ruffini (1765 – 1822) ideó un procedimiento
esquemático para hallar el cociente y el resto de ladivisión de un polinomio cualquiera por
otro de la forma x – a.
Este procedimiento que tiene una disposición práctica muy simple, se conoce con el
nombre de Regla de Ruffini.
Vamos a realizar la división del polinomio D(x) = 3x3 – 2x2 – 5x – 9 por d(x) = x – 2.
Si seguimos el esquema habitual:
3x 3 − 2 x 2 − 5x − 9
x -2
− 3x 3 + 6 x 2

Regla de Ruffini
En la primera fila escribimos loscoeficientes
del
polinomio
dividendo completo y ordenado.
En la segunda fila y a la izquierda
el 2.

3x 2 + 4 x + 3

4x 2 - 5x
− 4x

2

+ 8x
3x − 9
− 3x + 6

3

-2

-5

-9

2

−3

Las operaciones siguientes las
daremos en forma esquemática.

3
Comparando los resultados, el último número
obtenido es el resto de la división. Los otros
números son los coeficientes delpolinomio

3
cociente ordenado en forma decreciente.
Es decir r(x) = -3 y c(x) = 3x2 + 4x + 3.
∴ 3x3 - 2x2 - 5x – 9 = (x – 2) (3x2 + 4x + 3) + (-3)

67

-5

-9

6 +

Por 2

-2

8

6

4

3

-3

Valor numérico de un polinomio

DEFINICIÓN
Dados P(x) ∈ R[x] y a ∈ R, el valor
numérico del polinomio P(x) para x = a
es el valor que se obtiene al sustituir la...