Ruffini

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´ Areas y Superficies

EJERCICIOS Y PROBLEMAS
PROBLEMAS RESUELTOS
1)1 Calcular la diagonal menor de un rombo cuya superficie es de 1,84 dm2 , si la diagonal mayor es de 2,3 dm. ´ De la f´ rmula del area del rombo: o d·d , despejamos d , que es la inc´ gnita o Sup. rombo. = 2 que buscamos: d = d = Sup. romb. · 2 d 1,84 dm2 · 2 = 1,6 dm 2,3 dm b) Si el di´ metro es de 18 m, el radio mayores de 9 m. a r = 9m r = 3m Hallamos la superficie de la corona circular, cuya f´ ro mula es la siguiente: Sup. corona circular = 3, 14 · 72 m2 = 226,08 m2 La parte sombreada corresponde a la mitad de la corona circular. Por tanto, ser´ igual a: a 226,08 m2 : 2 = 113,04 m2 La superficie sombreada mide 113,04 m2 .

2)1 Hallar las superficies sombreadas en la siguientes figuras. a)
6,92 m

PROBLEMASPLANTEADOS
[1]0 Hallar el lado menor de un rect´ ngulo cuya superficie a es de 600 m2 si el lado mayor mide 30 cm. R.: 20 cm [2]0 Calcular la superficie de un tablero de ajedrez cuyo lado mide 60 cm. R.: 3.600 cm2

6m

3m

a) En un hex´ gono regular, el radio mide lo mismo que a el lado, y la apotema es igual a: ap. = √ r 3 2ap ; luego: l = r = √ 2 3

[3]0 Hallar la altura de una puerta de70 cm de anchura, sabiendo que su superficie es de 1,47 m2 . R.: 210 cm [4]0 Calcular la superficie total del papel de un libro de 200 p´ ginas, si su formato es de 22 × 28 cm. a R.: 12,32 m2 [5]0 ¿Cu´ ntas baldosas de 30 × 30 ser´ n necesarias para cua a brir el suelo de una habitaci´ n que mide 3,60 m × 4,80 m? o R.: 192 baldosas [6]0 Un tri´ ngulo tiene por base el lado de un cuadrado cuya a ´superficie es de 16 m2 . Calcular el area del tri´ ngulo a sabiendo que su altura es igual al doble de su base. R.: 16 m2

Por tanto, el per´metro es: ı 12ap 12 · 6 m = 41,52 m p = 6l = √ = √ 3 3 Sp = p · ap 41,52 m · 6 m = = 124,56 m2 2 2

Sup. c´rculo = π · r2 = 3, 14 · (3 m)2 = ı = 3, 14 · 9 m2 = 28,26 m2 − Superficie pol´gono = 124, 56 m2 ı Superficie c´rculo ı Parte sombreada = = 28,26 m296,30 m2

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Expresiones algebraicas

103

nos permite calcular el resto de la divisi´ n de un o polinomio en x por un binomio del tipo (x ± a), sin hacer la divisi´ n. o Su enunciado dice: «El resto de dividir un polinomio en x por un binomio de la forma (x ± a) es el valor num´ rico del polinomio dividendo e para x igual al valor de a cambiando de signo[±a].»

o Si hacemos la divisi´ n: 2x4 − 3x3 + 5x2 − − 2x
4

6x + 10

x−2 2x3 + x2 + 7x + 8

+ 4x −

3

x3 + 5x2 x3 + 2x2 7x2 − 6x − 7x2 + 14x − 8x + 10 8x + 16 26 podemos comprobar que el cociente y el resto coinciden con los obtenidos anteriormente.

6.1

REGLA DE RUFFINI

La regla de Ruffini permite hallar el cociente y el resto de la divisi´ n de un polinomio, por o ejemplo P(x) =2x4 − 3x3 + 5x2 − 6x + 10, por un binomio de primer grado (x ± a), por ejemplo x − 2, sin necesidad de efectuar la divisi´ n. o Para ello se disponen del modo siguiente los coeficientes de P(x): 2 −3 5 −6 +10 2

Se escribe el primer coeficiente debajo de la l´nea horizontal. Luego, este coeficiente se mulı tiplica por 2 (que es el t´ rmino independiente del e binomio divisor cambiado de signo) yel resultado se suma al segundo coeficiente: 2 −3 5 −6 +10 4 2 1

2

Con el valor obtenido se reitera el proceso hasta llegar al final: 2 −3 5 −6 +10 2 4 2 14 16 2 1 7 8 26

PAOLO RUFFINI edico (1765-1822), m´ y matem´tico italiano, fue a el primero en hacer un intento serio de demostrar la imposibilidad de resoluci´n de las ecuaciones o polin´micas de grado o superior al cuarto. PAOLO RUFFINI(1765-1822), m´ y matem´tico edico a italiano, fue el primero en hacer un intento serio de demostrar la imposibilidad de resoluci´n de las o ecuaciones polin´micas o de grado superior al cuarto. PAOLO RUFFINI (1765-1822), m´ y edico matem´tico italiano, fue el a primero en hacer un intento

Divisibilidad
Un caso particularmente interesante de divisi´ n de polinomios es el representado por...