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Cicloide: Calculo Diferencial e Integral
Profesor: Miguel Carrasco Auxiliares: Germ´n Ibarra a 23 de Octubre de 2007
Definici´n: Un conjunto Γ ⊆ Rn se llamara Curva si existe una funci´n continua σ : [a, b] → Rn llamada o o parametrizaci´n de la curva, tal que o Γ = {σ(t) : t ∈ [a, b]} Luego diremos que la curva Γ es : 1. Suave: si admite una parametrizaci´n de clase C 1 o 2. Regular : si admiteuna parametrizaci´n suave σ tal que o
dσ dt (t)

> 0, para todo t ∈ I

3. Simple: Si admite una parametrizaci´n inyectiva (i.e. no hay puntos multiples) o Definici´n: Sea Γ una curva simple y regular. Sea σ[a, b] → Rn una parametrizaci´n regular. Definimos o o la longitud de arco s : [a, b] → [0, L(Γ)] como
t

s(t) =
a

dσ (u) du du

Definiciones: Vector Tangente: σ(t) ˆ T = σ(t)Curvatura: k(s) = Vector Normal: ˆ N= Vector Binormal: ˆ ˆ T ×N P1.- La Cicloide se define como el lugar geometrico descrito por un punto solidario a una rueda (de radio R) que gira sin resbalar. (i) Encontrar la parametrizaci´n para el caso general en que el radio de la circunferencia es R y o el punto solidario se encuentra a una distancia a del centro. Analice regularidad para los casos a < R, a > R ya = R. De ahora en adelante considere los valores R = a = 1 (ii) Encuentre la parametrizaci´n en longitud de arco. o (iii) Encuentre el vector Tangente, la Curvatura, Vector Normal y Binormal. (iv) Encuentre la parametrizaci´n de una recta tangente a la cicloide en un angulo α fijo. o Soluci´n: o (i) Primero hay que entender como se vera la curva. De acuerdo a la relaci´n entre a y R la o Cicloidese vera de la siguiente manera: ˆ dT ds
ˆ dT ds ˆ dT ds

1

Figura 1: Cicloide

Para analizar el comportamiento del punto conviene considerar el movimiento del centro y a partir de este ubicar el punto. Considerando esto, la parametrizaci´n queda: o σ(θ) = (Rθ, R) + (−a sin(θ), −a cos(θ)) σ(θ) = (Rθ − a sen(θ), R − a cos(θ)) Como se utiliza a lo largo de todo el problema, hay que calcularla velocidad o derivada de esta parametrizaci´n y su norma: o σ (θ) = (R − a cos(θ), a sen(θ)) σ (θ)
2

= (R − a cos(θ))2 + (a sen(θ))2

Si en algun momento la norma se hiciera 0, la curva no ser´ regular. Para que esto ocurra ıa ambos terminos de la suma deberian ser cero (ya que los dos estan al cuadrado), veamos si esto es posible en algun caso. Del primer termino (el de la derecha), aligualarlo a cero, se puede concluir que cos(θ) = R/a. En el caso R > a siempre la razon R/a > 1, como el cos(θ) no puede ser nunca mayor que 1, el primer termino, en este caso, nunca podra ser 0, por lo que la curva sera regular. Para el caso a < R el cos(θ) puede ser 0, ya que la raz´n R/a < 1 sin embargo el segundo o termino, a sen(θ) tiene que ser cero tambien, situaci´n que ocurrira solo cuandoθ = kπ, k ∈ Z. o Cuando se reemplaza este valor en el cos(θ) este toma solo los valores 1 y -1. Por lo tanto, para que la norma σ (θ) = 0, la razon R/a tiene que ser 1, lo que se logra solo cuando R = a. Segun esto, la curva sera regular para cualquier relacion entre R y a, excepto cuando R = a. (ii) Al considerar R = a = 1 la parametrizacion y su derivada quedan: σ(θ) = (θ − sen(θ), 1 − cos(θ))σ (θ) = (1 − cos(θ), sen(θ))

2

Primero calculemos el largo que de la cicloide al dar una vuelta, esto quiere decir cuando θ ∈ [0, 2π], el cual esta determinado segun la siguiente integral:
2π 2π

L=
0

σ (θ) dθ =
0

2(1 − cos(θ))dθ

Para poder resolver esta integral y porque ser´ necesario m´s adelante, recordemos las a a siguientes identidades: sen(2α) = 2 sen(α) cos(α) cos(2α) =1 − 2 sen (α) = 2 cos (α) − 1
2 2

(1) (2)

Ocupando la identidad (2), la integral anterior se puede escribir como L= √
2π

2
0

√

θ θ 2 · sen( )dθ = 2(−2 cos( ))|2π = 4(1 + 1) = 8 2 2 0

Escribamos ahora el paremetro s, longitud de arco, segun la definici´n anterior como: o
θ θ

s(θ) =
0

σ (u) du =
0

2(1 − cos(u))du

Al igual que en el caso anterior, esta integral...