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ESFUERZOS EN UNA MASA DE
SUELO
Ing. William Rodríguez Serquén.

ECUACIONES BASICAS DE LA TEORIA ELASTICA.‐

Fig. B. Esfuerzos en una masa elástica.

…(D)
Con: A, B y D, resultan

Fig. A. Desplazamientos y deformaciones elásticas

Las Ecuaciones de Navier:

Las componentes del tensor de deformaciones:

…(E)
…(A)
La deformación unitaria de volumen:

El problema deBoussinesq:
Dada una carga sobre la superficie de una masa elástica,
semi‐infinita, elástica, isotrópica y homogénea, hallar los
esfuerzos en el interior de la masa de suelo.

La Ley de Hooke en tres dimensiones:

…(B)
Las constantes de Lamé (l), Módulos de Young (E) y
Poisson (n):

Fig. C. Carga aplicada sobre una masa de elástica.
La solución de Boussinesq:

…(C)
Las Ecuaciones deequilibrio:

Para cargas sobre la superficie de una masa elástica, el
método de Boussinesq, consiste en introducir una función
potencial F:
Los desplazamientos en función de F

2

…(F)
Reemplazando (F) en (E), resulta
La ecuación de Laplace:

…(G)
Ahora la solución consiste en hallar la función F, que
satisfaga la Ec. de Laplace.

Fig. D. Carga concentrada aplicada a una masa elástica.El valor de la función F:
Para carga concentrada Boussinesq propone:

Con las Ecs. (A), (B) y (G), resultan
Los esfuerzos normales en una masa de suelo:

…(J)

La cual será válida si además de la Ec. de Laplace, se
cumple:
..(H)
Y los esfuerzos cortantes en una masa de suelo:
Se deriva la función F:

…(I)
De las dos últimas dos ecuaciones se obtiene:

Lo que significa que en lasuperficie no hay cortantes
horizontales.

…(K)
Los valores de (K), van a (H), y se obtiene para el esfuerzo
szz:
El esfuerzo vertical szz = tzz vale

Caso de carga concentrada.‐
…(L)
Donde R = L, en Fig. (D):
Esfuerzo que satisface:

3

Con la Ec. (F) se obtiene las deformaciones en z:

…(2)
Como
=

…(3)

Resulta la

Donde

Ecuación del asentamiento en una masa deelástica:
Para z = 0:

…(M)
La Ec. (3) se transforma en:
Esfuerzos debido a carga Puntual.‐
…(4)
A partir de la Ec. (4) se pueden calcular:
1.1. La variación de esfuerzos con la profundidad
1.2. La variación de esfuerzos con la distancia.
1.3. El diagrama de isóbaras.
1. 1 Variación de esfuerzos con la profundidad.‐
En la Ec. (4), r = 0, para diversos valores de z.

Fig. 1. El problema deBoussinesq de carga puntual.
Boussinesq en 1883, solucionó el problema hallando los
esfuerzos normales y cortantes en todas las direcciones.
Los esfuerzos normales valen:

Fig. 2. Variación del esfuerzo vertical con la profundidad.
1.2. Variación de esfuerzos con la distancia.‐
…(1)

En la Ec. (4), z = constante, para diversos valores de r.

4

Fig. 3. Variación del esfuerzo verticalcon la distancia.
1.3. Diagrama de isóbaras.‐
Representa el lugar geométrico, donde los esfuerzos son
iguales.
De la Ec. (4), se despeja r en función de z, para un esfuerzo
constante.

Fig. 5. Diagrama de isóbaras para carga puntual, dibujado a
escala.

Fig, 4. Diagrama de isóbaras.

Fig. 5.1 Diagrama de isóbaras para carga cuadrada y
continua.
2. ESFUERZOS DEBIDO A CARGA LINEAL.‐Se trata de calcular los esfuerzos que se producen en una
masa de suelo debido a una carga lineal, aplicada en su
superficie. Dados q, X, Y, Z, hallar el esfuerzo vertical.

ROBLEMA Nro 1 .‐
o.
PR

5

Si X = 3 m, Y = 4 m, Z = 5 m, q = 10 t/m2, calcular Dsz.
i
z

Fig. 6 El problem de Boussine extendido a carga linea
6.
ma
esq
o
al.
Se es
studia un elem
mento diferen
ncial,ubicando la carga
o
difer
rencial, de tal manera que s pueda Aplicar la
se
ecua
aciñon de Bou
ussinesq para c
carga vertical.

SO
OLUCION.‐
1.
2.
3.
4.

Dond
de:

La in
ntegral resuelt vale:
ta

…(5)
Haciendo m = x/z n = y/z, la ec
z,
cuación (5) se convierte en:

…(6)
…
o
en
Lo que está entre corchetes ha sido tabulado y graficado e
ue
ráfico de Fadu
um.
lo...