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Unidad 2 Lugares Geométricos
Sección 2.2 La Línea Recta

Definición: Una línea recta, lo mismo que cualquier curva contenida totalmente en un plano está representada, en relación con un sistema de ejes cartesianos, por una ecuación de dos variables, siempre y cuando dicha ecuación sea capaz de expresar la condición común que satisfacen absolutamente todos y cada uno de los puntos queconstituyen dicha línea.
Una recta queda definida si se conocen dos condiciones, por ejemplo: dos de sus puntos, un punto y su dirección (pendiente o ángulo de inclinación) etc.

Formas de la ecuación de la recta
Ecuación de la recta que pasa por un punto A(x1, y1) y tiene una pendiente dada m:

y – y1 = m(x – x1)


si la recta pasa por el origen, x1 = 0 y y1 = 0 la ecuación queda:

y =mx





Ecuación de la recta de pendiente m y que corta al eje Y en (0, b), siendo b la ordenada en el origen, es:

y = mx + b


Ecuación de la recta que pasa por dos puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) es:




Ecuación de la recta que corta los ejes coordenados X e Y en los puntos A(a, 0) para X, y B(0, b) para Y(Ecuación Simétrica).












Forma general de la ecuaciónde la recta:

Ax + By + C = 0

Donde A, B y C son constantes arbitrarias, en donde A o B deben ser diferente de cero y C puede o no ser igual a cero.
En caso de que B = 0 entonces A 0, la ecuación se reduce a:
Ax + C = 0
La cual es la ecuación de una recta paralela al eje Y.
En caso de que B 0, dividimos la ecuación por B despejando y tenemos que pero esto esta en la forma y =mx + b la cual es la ecuación de una recta de pendiente cuya ordenada en el origen es

Forma normal de la ecuación de la recta:

Una recta también queda determinada si se conoce la distancia d de la perpendicular trazada desde el origen a ella y el ángulo que forma la perpendicular con el eje X.



Ecuación normal de recta:

donde d es un numero positivo, que representa a lalongitud de la perpendicular trazada desde el origen a la recta y es el ángulo positivo menor a 360º medido a partir de la parte positiva del eje X a la perpendicular.

La forma general de la ecuación de una recta Ax + By + C = 0 puede reducirse a la forma normal dividiendo cada término de la forma general por:
en donde el signo de r se escoge como sigue si C el signo de r es el contrario al de C.Si C = 0 y B r y B tienen el mismo signo. Si C = B = 0, r y A tienen el mismo signo. Quedando la forma normal de Ax + By + C = 0 así:




en donde cos =; sen = y d =



Distancia de un punto a una recta: para determinar la distancia dp de un punto (x1, y1) a una recta L, se traza la recta paralela L1 que pase por el punto (x1, y1). La ecuación normal de L seria: x cos + y sen - d= 0, la de L1: x cos + y sen - (d + dp) = 0, ver grafico:



El punto de coordenadas (x1, y1) satisface la ecuación de la recta L1 por lo que: x1 cos + y1 sen - (d + dp) = 0, despejando dp = x1 cos + y1 sen - d.
En caso de que el origen y el punto (x1, y1) estén a distinto lado de la recta L, la distancia dp es positiva, si estuviera del mismo lado de L dp es negativa.

Ejemplos:

1.Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1, 5) y tiene de pendiente 2.
Solución: aplicamos la ecuación punto-pendiente y – y1 = m(x – x1), sustituimos los valores quedando y – 5 = 2(x – 1) y – 5 = 2x -2 2x – y + 3 = 0

2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-6, -3) y tiene un ángulo de inclinación de 45º.
Solución: pendiente m = tg 45º = 1, y + 3 = x +6 x – y + 3 = 0.

3. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es -3 y cuya intersección con el eje Y es -2.
Solución: aquí aplicamos la ecuación y = mx + b y = -3x – 2 y +3x + 2 = 0

4. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(4, 2) y B(-5, 7).
Solución: aplicamos la ecuación de la recta que pasa por dos puntos:
9(y – 2) = -5(x – 4) 9y + 5x +32 = 0.

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