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Capítulo 5

Los números naturales
5.1

Introducción

El estudio sistemático de los números naturales puede hacerse por diferentes vías. Por
ejemplo, haciendo la construcción mediante la teoría de conjuntos, o a través de una presentación axiomática, sustentada en los axiomas de Peano. Aquí se hará una presentación
más informal, buscando sobre todo aprovechar el conocimiento que elestudiante tiene, de
las propiedades básicas de los números naturales. La presentación comienza enunciando
el principio de inducción, y tratando de familiarizar al lector con este principio, por medio
de ejemplos y la deducción de otros resultados como consecuencia del mismo. El lector
interesado en la presentación axiomática, puede consultar el apéndice.

5.2
5.2.1

El principio de inducciónEnunciado y ejemplos

La idea intuitiva del principio de inducción es que N es el menor conjunto que satisface:
(a) 0 2 A:
(b) Para todo n 2 A se tiene n + 1 2 A:
Un conjunto A se llama inductivo si satisface estas dos propiedades.
Principio de inducción
Si A es un subconjunto inductivo de N, entonces A = N.
En otras palabras, ningún subconjunto propio de N es inductivo. Como ya lomencionamos,
nuestro primer objetivo es familiarizarnos con este principio. Los ejemplos que siguen
persiguen ese objetivo.
1

A. Duarte & S. Cambronero

2

Ejemplo 5.2.1 Demostrar que 2n n + 1; para todo n 2 N.
La a…rmación quedará demostrada si comprobamos que el conjunto
A = fn 2 N : 2n

n + 1g

es igual a N. De acuerdo con el principio de inducción, bastará con demostrar que dichoconjunto es inductivo.
(a) En primer lugar, 0 2 A puesto que 20 = 1 0 + 1:
(b) Ahora supongamos que n 2 A; esto es 2n n + 1: Entonces
2n+1 = 2 2n

2 (n + 1) = 2n + 2

n + 2 = (n + 1) + 1;

lo que demuestra que n + 1 2 A:
Por el principio de inducción se concluye entonces que A = N. Consecuentemente, la
desigualdad es válida para todo n 2 N.
Ejemplo 5.2.2 Demostrar que para todo n 2 N setiene
0+1+

+n=

Se trata de demostrar que el conjunto
n
A= n2N:0+

n(n + 1)
:
2

+n=

n(n+1)
2

o

es igual a N. Usando el principio de inducción, es su…ciente demostrar que el conjunto A
es inductivo.
(a) Para n = 0; la suma del lado izquierdo solo tiene un término, y es igual a 0; mientras
que el lado derecho es 0(0+1) = 0: Entonces 0 2 A:
2
(b) Si n 2 A; se tiene
n(n+ 1)
0+
+n=
;
2
y debemos demostrar que n + 1 2 A: Veamos:
0+

+ (n + 1) = (0 +
+ n) + (n + 1)
n(n + 1)
+ (n + 1)
=
2
n(n + 1) + 2(n + 1)
=
2
(n + 1)(n + 2)
=
:
2

Esto demuestra que efectivamente n + 1 2 A: Por el principio de inducción se concluye
que A = N, como se deseaba.

A. Duarte & S. Cambronero

3

Ejemplo 5.2.3 Demostrar que todo n 2 N tiene la forma 2k ó 2k+ 1; para algún k 2 N.
De…nimos el conjunto
A = fn 2 N : n tiene la forma 2k ó 2k + 1g:
Note que 0 2 A; pues 0 = 2k; con k = 0: Entonces A satisface la propiedad (a). Por otro
lado, si n 2 A, entonces n tiene una de las dos formas 2k ó 2k + 1: Si n = 2k se sigue
que n + 1 = 2k + 1: Si por el contrario n tiene la forma 2k + 1; entonces n + 1 = 2(k + 1);
donde k + 1 2 N: En ambos casosconcluimos que n + 1 2 A; así que A satisface también
la propiedad (b). Luego A = N por el principio de inducción.
Nota: En la práctica, no se acostumbra de…nir el conjunto A explícitamente, sino que se
demuestra la propiedad planteada para n = 0; y luego se demuestra que si se cumple para
n; debe cumplirse para n + 1: Esta última parte se conoce como el paso inductivo.
Ejemplo 5.2.4 Demostrar quen3 + 5n es divisible por 6; para todo n 2 N.
En efecto, para n = 0 se tiene n3 +5n = 0; el cual es divisible por 6: Para el paso inductivo,
se supone que n satisface la rpopiedad, lo cual quiere decir que n3 + 5n = 6k; para algún
k 2 N. Luego
(n + 1)3 + 5 (n + 1) =

n3 + 5n + 3n2 + 3n + 6

= 6k + 3n(n + 1) + 6
= 6(k + 1) + 3n(n + 1):
Como n (n + 1) es siempre par (¿
por qué?), se...