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Guía de Cálculo de Límites

El límite de una función en un punto, coincidirá, en la mayoría de los casos, con su valor en ese punto. Por tanto, lo
primero que tendremos que hacer será sustituir el valor del punto en la función; si ese valor existe, habitualmente será el
límite buscado. Cuando el resultado no tuviese un sentido inmediato convendría recurrir a alguna de las reglas querecordaremos a continuación.

Ejemplos:
1.-





lim 3x 2  5x  7  9
x  2

2.- lim

2
3x  4 x  1

x1

2x  2

Cuando al sustituir aparezca la expresión

Cuando al sustituir aparezca la expresión

k



3- lim

2
3x  4 x  1

x1

2x  2

 ? (Indeter.)

, k  0 ; diremos que el límite es indeterminado

0
k


, k  0 ; diremos que el límite es 0. Ejercicios:

1)

lim( x  7)

3)

lim x 5

x5

S: 12

2)

lim 2

S: 0

4)

lim
x 3 2
x

S: 15

6)

1

lim
 3

x 2 x  2


1

x

5)

lim(3x 2  x  5)
x 2

S: 2

x0

S: 1/9

S: 13/4

0 
, ,   ,0  
0 
Cuando al sustituir aparezcan resultados de la forma:
; diremos que el límite es un forma
indeterminada.



0Indeterminación del tipo 0 . Aparecen al calcular límites de cocientes de funciones polinómicas o de funciones irracionales. El primer caso se resuelve factorizando los polinomios numerador y denominador, mediante la regla de Ruffini, y
el segundo caso se resuelve multiplicando numerador y denominador por la expresión conjugada de la función que lleve raíz.
Ruffini

Ejemplos:

x 12 x  2 lim x 1x  2  0
x 3  3x  2  0

lim
  .Ind.   lim
x1 x 2  3x  2  0
x2
 x  1 x  1x  2 x  1
1.;

1

2.-

(a+b)(a-b)=a2-b2

lim

x 4









2
( x  5  3) x  5  3
x  5  32
x 5 3 0
x4
 ( Ind.)  lim
 lim
 lim
 lim
x 4
x 4 ( x  4) x  5  3
x 4 ( x  4) x  5  3
x 4
x4
0
x  4 x  5  3













1



x5 3



Ejercicios:

7)

9)

3x  6

lim
x 2

( x  2)

2

2
x x

lim 3
2
x 0
x  2x  x
3 x 5

2
x  6x  8

S: 

8)

lim

S: 1

10)

lim

x 4

x 0

x4
1 x 1

S: 2

S: -1/4

2x

11)

lim




Indeterminación del tipo  . Aparecen al calcular límites de cocientes de polinomios. Seresuelven dividiendo numera-

x 4

x4

S: -1/6

dor y denominador por la máxima potencia de la función.
Los posibles casos que nos podemos encontrar son los siguientes:

, si grado de P(x) > grado de Q(x)
0, si grado de P(x) < grado de Q(x)
P( x ) 

lim
 k
x  Q( x )
 l , si grado de P(x) = grado de Q(x), siendo k y l

 los coeficientes de los terminos de mayor grado deP(x) y Q(x).

Ejemplos:

x2
1

2 1 
2 1
2 x 2 1 0
x
x
1.  lim
 Ind.  lim
 lim x

 1 (Grado del numerador y denominador iguales)
2
x 
x 
x 

1
x
x2
x2
x2
2 x 3 3x
7
3
7


2

3 x3 x3
2 x3
2 x 3  3x  7 
2 x 3  3x  7
2
x
2.  lim
 Ind  lim
 lim x
 lim
   (Grado
2
x 3x 2  5 x  2 
x 3x 2  5 x  2 x 3x 2 5 x
x3 5
0
2




x x 2 x3
x3 x3 x3
num.>grado denom.)

2

1
6

 Ejercicios:

12)

lim

x 

2x

2

2 x

2

 7x  5
 4x  3

4
x
14) lim
3
2
x 
3x  2 x  6 x  1

S: -1

S:

3x 3  2 x  1
x 
7 x 4  2x 2

13) lim

S: 0



* Indeterminación del tipo    . Los casos más comunes son en los que existe diferencia de radicales y losque son diferencia de cocientes. En el primer caso, la indeterminación se resuelve multiplicando por el conjugado en el numerador y
denominador, y en el segundo caso, resolvemos la indeterminación operando convenientemente.

Ejemplos:

1.
 

2
2
 4x 1  2x    4x 1  2x 
4x 2 1  4x 2
1
1



 

lim  4 x 2  1  2 x   (  Ind .)  lim
 lim
 lim
...