Sdfghbj

Importante:
Ingeniería Matemática
FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Cálculo 08- 1
Ý

ØØÔ »»ÛÛÛº ѺÙ
Ð º
л
Ð
ÙÐÓº
Ò
ÓÒØÖ Ö × Ð × Ù × Ö

Ó× Ò ÓÖÑ
Ò Ñ
Ò Ð
ÙÖ×Óº ÔÖÓ Ð Ñ ×¸ Ñ × Ð

Î × Ø

Ö

ÙÐ ÖÑ ÒØ

ÁÒ Ò Ö ÅÖ
Ø Ñ
ÙØ Ð
Ö
×

ÍÒ Ú Ö×

Ð

SEMANA 1: NÚMEROS REALES

Í× Ñ Ö

×Ø × ÒÓØ × Ò Ô Ö Ñ Ò Ö

ÐÓÒ¹ Ð Ñ ¹ Ø Ñ¹ ×

×ÙÐØ Ö

1.
1.1.

Números Reales
Introducción
ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð Ñ ÒØÓ× × × ×ÙÑ Ð ×¸ Ó
× ÕÙ ×Ø × ÔÖÓÔ ÒÓØ Ó ÔÓÖ

Ñ × Ö Ô Ø Ö Ò Ðº À Þ ØÙ×

ÔÖÓÔ

ÒÓØ
ÓÒ ×º

Ð
ÓÒ ÙÒØÓ
ÓÒ ÙÒØÓ
ÙÝÓ×
ÓÒ ÙÒØÓ Ò

R¸
Ò

× × ÑÔÐ Ñ ÒØ Ð
Ù Ð × ÐÓ
Ò ÐÓ× Ù Ð × Ò Ó ÔÖÓ Ù
ØÓº × Ò × ÙÖ ÒØ ÖÙÔ Ö× Ð

ÙÒ Ò Ò Ð Ó× Ý ÔÖÓ¹

ÐÐ Ñ Ò Ò Ñ ÖÓ× Ö
ÔÖÓÔ Ò × ÕÙ ÐÐ × Ò ÐÑ ÒØ ¸ Ö Ò
× ×Ð

Р׸

Ó× ÓÔ Ö
ÓÒ × ÐÐ Ñ

Ò Ý ÑÙÐØ ÔÐ

Ó Ù× × ÔÙ ×Ó

R


ÓÒ

×Ø × ÓÔ Ö
ÓÒ × × Ø × ×
Ð × Ý Ð × Ý Ñ ÙÒ Ó º

× ÕÙ

Ò
Óº Ò ØÖ ×

R
Ò×

Ü ×Ø Ò ÒÙÑ ÖÓ× × ÔÖÓÔ ÒÞ × Ð ÔÖ Ñ Ö Ù Ð × Ú ÒÞ ÖÙÔÓ
ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò
Ù
ÓÒ × Ñ Ö
Р׺ × × ×ØÙ ×Ø Ö Ð

Ñ Ð Ð × Ð Ô ÒØ ÖÒ ×Ø × ÍÒ ×
Ö Ò ×Ø ØÓ ×


Ù
ÓÒ ×

ÖÙÔÓ
ÓÖÖ ×ÔÓÒ

Ð × ÔÖÓÔ Ü ×Ø ÒØÖ

Ò ØÓÖÒÓ Ð × Ý ÐÓ× ×ØÖÙØÙÖ

ÙÒ
ÓÒ ÙÒØÓ Ð

× ÕÙ

ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö

Ö
ÓÒ Ð × ´Ð × Ö

ÓÒ ×µ¸ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö ÐØ Ñ × ÔÖÓÔ Ð ÐÐ × Ó ÒÓ¸ ÕÙ ×

×Ø × ÔÖÓÔ

ÔÖ Ó
ÙÔ Ò Ü ÓÑ


ÓÒÓ
Ò
ÓÑÓ ×
Ù Ò Ó ×
Ö Ð
ÙÖ×Ó Ú × ×
Ó× ÒÙ ×ØÖ Ù
ÁÇÅ ÓÖ

Ð ×ÙÔÖ ÑÓº Ö ÙÒ Ð Ö Ó Ð ×Ø Ó ÔÖÓÔ ½ ÓÒ ¿ ´ÔÓÖ × ÐÓ ×

ÔÓ× ÖØ

Ö Ð × ÔÖÓÔ

R

× Ö × ÙÒ Ð

ÑÓ Ó ÕÙ
ÓÒ

ÒÓ× ÔÖ

ÙÒØ

× ¸
ÓÖÖ ×ÔÓÒ ×º Ò ÓÔÙ ×Ø ÐÔÖÓÔ Ò ÙÒÓ ×

ÑÔÐÓµ º

×ØÓ ØÖ Ò× ÓÖÑ Ö ×
Ó × ÙÒ Ö ÑÓ× ÙÒ Ò × Ö ÙÒ Ó× Ñ ÒØ Ð × ÔÙ Ò × Ö ÐÓ× Ô ÖØ Ö µ¸ ÐÓ×

Ñ Ø Ñ Ø
×

Ñ ÑÓÖ Þ Ö Ò Ò Ø × ÔÖÓÔ


ÙÖ×Ó¸

ÒØ Ö ÓÖº ÐÐ Ñ Ò


Ö¸ ØÓ Ó×

Ð × ÔÖÓÔ ÐÓ× Ô Ð Ö × × ÐÓ


ÓÒ×
Ù Ò
Ø ÓÖ ×¸ Ñ Ëº

ÖØÓ× ÔÓ×ØÙÐ ×

×
Ó× Ý × Ö Ò

Ð Ñ ÒØ Ð ×º ÄÓ× ÔÓ×ØÙÐ ÕÙ ÐÐ × ÕÙ

Ð Ñ ÒØ Ð × × ÒØ

Ü ÓÑ

º Ä × ÔÖÓÔ ÙÒ

R
ÒØÓ Ð

× Ö Ò
Ó¹ Ó×Ö ÞÓÒ Ñ

Ñ Ø Ñ Ø
Ó¸ Ð Ù Ð

ÖÙÔ Ö ÑÓ× ÐÓ× Ð ×ÙÔÖ ÑÓ ´ÕÙ ÕÙ

Ü ÓÑ × Ü ÓÑ × Ñ Ö
Ð

Ò ØÖ ×

ÖÙÔÓ× ÄÓ× Ò ´ ×Ó
ÒØÖ
Ó×

Ü ÓÑ × Ð Ð ×


Ù ÖÔÓ ´ ×Ó
Ù Ð µÝ Ð

Ü ÓÑ Ö ×

Ö Ò
× Ø × Ò Ó

ÐÓ× Ö

Ð × Ý ÐÓ× Ö
ÓÒ Ð ×µº
Ö× ¸ Ò ÔÓ
× Ô Ð ÒÓº

ÂÙÒØ Ò Ó ØÓ Ó× ÐÓ×

Ü ÓÑ × ÕÙ

R¸ ×Ù

R

× ÙÒ

Ù ÖÔÓ ÇÖ

ÓÑÔÐ ØÓ Ý

ÖÕÙ Ñ

1.2.
ÄÓ×
Ù ÖÔÓ

Axiomas deCuerpo de los Reales
Ü ÓÑ × ÐÓ× Ö

R

Ò ØÓÖÒÓ Ù ÒØ ×

Ð

Ù Ð

Ø Ñ

Ò ×ÓÒ ÐÐ Ñ ¸

Ó×

Ü ÓÑ × Ó×

Р׺ ÄÓ×

ÖÙÔ Ö ÑÓ×

Ò ÙÒ ØÓØ Ð

ÐÓ×
Ù Ð × ÐÓ×

ÔÖ Ñ ÖÓ× ×ÓÒ ÐÓ× ×

Ü ÓÑ ½º ´ ÓÒÑÙØ Ø Ú
µ Ù Ð ×ÕÙ Ö ÕÙ ×

µ
Ð ×

ܺ ½º

ÓÒÑÙØ Ø Ú

Ò ÐÓ× Ö

x, y

Ó׸ ×Ù ×ÙÑ

× ÙÒ Ö

Ð

½

ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø

ÍÒ Ú Ö×
×

Ð

Ò

Ô Ò

ÒØ

Ð ÓÖ

Ò

Ò ÕÙ

×Ù× Ò ÐÓ×

Ó× ×ÙÑ Ò Ó׸


Ö

(∀x, y ∈ R)
µ È Ö Ð ÔÖÓ Ù
ØÓ ×
ÙÑÔÐ Ð

x + y = y + x.
Ñ ×Ñ ÔÖÓÔ Ð Ñ ÒØ Ð¸ ×
Ö

(∀x, y ∈ R)

x · y = y · x.

Ü ÓÑ ¾º ´ ×Ó
Ø Ú
µ µ

µ

ܺ ¾º

×Ó

Ø Ú

(∀x, y, z ∈ R) x + (y + z) = (x + y) + z (∀x, y, z ∈ R) x · (y · z) = (x · y) · z
Ð Ü ÓÑ Ñ Ò
Ð × Ö Ó Ò Ù ×Ø ÔÖÓÔ ÒØ Ð ×Ó
ÐØ Ñ Ø Ú Ù Ð ÐÓ× × ÖÖÓÐÐÓ Ö
Ö
× × Ð Ð Ü ÓÑ Ü ÓÑ ½ ¾. ÕÙÖ ÐÓ× Ó× ÆÇ Á × ÙÒ Ü ÓÑ × ÕÙ

Ç × ÖÚ ÑÓ× ÕÙ

x + (y + z) =

ÖØ ¸

(x + z) + y º
Ö
Ò × Ð

Ë Ò

ÔÖÓÔ ÒØ Ö ÓÖ ×º


ÓÑ


ØÓ¸ Ú

ÑÓ×

x + (y + z) = =
ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸
ÓÑ ÓÔ Ö Ò Ó× ÕÙ × ×
Ù Ò Ó ÙÒ ØÖ ÔÐ Ö

x + (z + y); (x + z) + y;
Ó× Ü ÓÑ × ÔÙ Óº ×ÙÑ ¸ × Ð Ö ×ÙÐØ

Ò Ò Ó ÐÓ×

ÒØ Ö ÓÖ ×¸ × Ò Ö ×Ø


ÓÒ
ÐÙÝ
Ù ÐÕÙ Ò

Ò Ö ÓÖ × ÔÓÖ

ÓÖÑ Ò Ö Ð¸ ×

¸ × Ò
Ñ Ò× Ö Óº

Ö Þ Ò¸ ÕÙ

Ý Ú Ö Ó× ×ÙÑ Ò Ó׸ ÒÓ ×

Ù× Ò ÐÓ× Ô Ö ÒØ × ×¸

ÒÓ × Ö ÕÙ

×ØÖ
Ø Ñ ÒØ

Ö

Ó× ½º½
Ñ × ½ Ý ¾º ½º

ÑÓ×ØÖ Ö Ð × ×

Ù

ÒØ ×

Ù Ð

׸ Ù× Ò Ó ×ÓÐÓ ÐÓ×

Ü Ó¹

(a+b)+c = (a+c)+b = (b+a)+c = (b+c)+a = (c+a)+b = (c+b)+aº ÕÙ × Ò ×
Ö ØÓ ØÓ Ó× ÐÓ× ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ× ÔÓ× Ð × ÐÓ× Ö Ð × a¸ b Ý cº (x + y) + (z + w) = (x + w) + (z + y) = (w + y) + (x + z).
Ü ÓÑ...