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RELACIÓN | CONCEPTO | EJEMPLO |
DE EQUIVALENCIA | Sea K un conjunto dado no vacío y R una relación binaria definida sobre K. Se dice que R es una relación de equivalencia si cumple las siguientespropiedades: * Reflexividad: Todo elemento de K está relacionado consigo mismo. Es decir,. * Simetría: Si un elemento de K está relacionado con otro, entonces ese otro elemento también se relacionacon el primero. Es decir, * Transitividad: Si un elemento de K está relacionado con otro, y ese otro a su vez se relaciona con un tercero, entonces el primero estará relacionado también con esteúltimo. Es decir,Una relación de equivalencia R sobre un conjunto K puede denotarse con el par ordenado . | * La igualdad entre los elementos de un conjunto. * La relación de congruencia módulo M enel conjunto de los números enteros (i.e. ), donde se define: a∼b si y sólo si es múltiplo de M.Esta relación es de equivalencia porque: * Es reflexiva: a - a = 0, que es múltiplo de M. * Essimétrica: si a - b es múltiplo de M, entonces b - a = -(a - b) también es múltiplo de M. * Es transitiva: sean k y l números enteros tales que a - b = M k y b - c = M l. Entonces, a - c = (a - b) + (b -c) = M k + M l = M(k + l) y por tanto un múltiplo de M. En particular, si M = 2 tenemos la tradicional clasificación de los números enteros en pares e impares. * Sea H un subgrupo de un grupo G.Definiendo para elementos del grupo a∼b si y sólo si , tendremos la relación de equivalencia llamada congruencia módulo H . * Definiendo, para elementos del grupo, a∼b si y sólo si existe g en G talquegag − 1 = b, se llama relación de conjugación. Sus clases: clases de conjugación. Las clases de equivalencia reciben el nombre de órbita o clase de conjugación. |
DE ORDEN PARCIAL | Sea A unconjunto dado, es una relación de orden parcial si y solo si al menos un par de elementos de A se relacionan entre sí, es decir,tal que . | * Ejemplo. Sea el conjunto X = {1,2,3} y el conjunto...