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Cálculo del valor exacto del cambio acumulado. Modelo Polinomial.
Problema 1: Teniendo la razón de cambio , resuelve lo siguiente:
a) Encuentra la función que determina la magnitud (antiderivada específica), sabiendo que
b) Calcula el cambio acumulado






Problema 2: Si
a) Determina la familia de antiderivadas
b) Calcula la antiderivada específica sabiendo quec) Calcula el cambio acumulado











Unidad I. La Problemática
Tema 1.3 Cálculo del valor exacto del cambio acumulado. Modelo Polinomial
Problema 3: En un tanque vacío se introduce agua de tal modo que la razón de cambio del volumen de agua con respecto al tiempo se comporta de acuerdo a la función r(t) = 2t litros/min (la razón de cambio es proporcional al tiempo). Enesta situación, el cambio acumulado del volumen en cada intervalo del tipo [0,1], [0,2], [0,3] y en general [0, t], coincide con el valor del volumen v a los 1, 2, 3, y en general, t minutos.
a) Utiliza una hoja de cálculo para aproximar el valor del volumen que se registra en el tanque a medida que pasa el tiempo en los primeros 10 minutos y considerando intervalos de tiempo ∆t = 1 minuto. Elvalor de la razón de cambio que mantendrás constante se elige en el extremo izquierdo de cada intervalo. Muestra los valores en la siguiente tabla:
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
∆t = 1
Aproximación
V(t)

0

0

2

6

12

20

30

42

56

72

90

t
r(t) = 2t
r(t)*∆ t
V(t)
∆t = 1
0
0
0
0
1
2
2
0
2
4
4
2
3
6
6
6
4
8
8
12
5
10
10
20
612
12
30
7
14
14
42
8
16
16
56
9
18
18
72
10
20
20
90
b) Mejora los cálculos del archivo que hemos generado utilizando en intervalo de tiempo ∆t = 0.1 minuto. De este modo, los valores del volumen en los tiempos señalados en la tabla, son el resultado dse acumular el cambio del volumen calculado en 10 subintervalos más pequeños comprendidos entre el 0 y el 1, el 1 y 2, el 2 y3 y así sucesivamente. Registra los valores en la siguiente tabla:

t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
∆t = 0.1
Aproximación
V(t)

0

0.9

3.8

8.7

15.6

24.5

35.4

48.3

63.2

80.1

99

t
r(t)=2t
r(t)*∆ t
V(t)
∆ t = 0.1
0
0
0
0
 
 
 
5
0.2
0.02
0

10
0.4
0.04
0.02

c) Realiza una última mejora en la hoja de cálculo utilizando unintervalo de tiempo ∆t = 0.01 y registra los valores en la siguiente tabla:
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
∆t = 0.01
Aproximación
V(t)

0

0.99

3.98

15.96

15.96

24.95

35.94

48.93

63.92

80.9

99.9

d) Utiliza ahora la hoja de cálculo para que canceles los decimales de tal modo que obtengas los valores redondeados a enteros, simulando con ellos un procesode aproximación cada vez mejor, a un grado tal que la tendencia de los valores sea el estabilizarse en esos enteros. Registra los valores en la tabla de abajo y obsrva su relación con el correspondiente t, tratando de identificar un patrón de comportamiento entre los valores de t y los de v(t).
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Aproximación
V(t)

0

1

4

9

16

25

3649

64

81

100
e) La función V(t) que hemos reconocido representa la posibilidad de un proceso de mejora llevado a sus últimas consecuencias, de tal modo que puede compactarse en una expresión algebraica.


f) Supongamos que en tanque inicialmente hay 25 litros de agua y que aparte de la llave que aumenta el volumen a razón de r(t) =2t una segunda llave esta introduciendo aguatambién, pero a razón constante de 3 litros por minuto. ¿Cuál seria la función que modela el comportamiento del volumen de agua en el tanque a los t minutos?






















DERIVADA Y ANTIDERIVADA DE FUNCIONES POLINOMIALE, CAMBIO ACUMULADO
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 1.3
Problema 4. Un automóvil se encuentra en la posición en el tiempo y a partir de ese instante...