Señales Y Sistemas

República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular Para La Defensa
Universidad Nacional Experimental Politécnica
De La Fuerza Armada Bolivariana
Núcleo Anzoátegui-Ext. Pto Piritu

Profesor:
Cruz GomezIV Semestre
Ing. De Telecomunicaciones

2. Solución de una ecuación diferencial
Tipos de soluciones
Una solución de una ecuación diferencial es una función que al reemplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación, es decir, la convierte en unaidentidad. Hay tres tipos de soluciones:
* Solución general: una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuación sea lineal,la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa.
* Solución particular: Si fijando cualquier punto por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial,existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto, que recibe el nombre de condición inicial. Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico.
* Solución singular: una función que verifica la ecuación, pero que no seobtiene particularizando la solución general.
Resolución de algunas ecuaciones
* Ecuación diferencial de primer orden
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una ecuación diferencial ordinaria donde intervienen derivadas de primer orden respecto a una variable independiente. Estas ecuaciones, junto con su condición inicial, se pueden encontrar expresadas en forma explícita:O en su forma implícita:


Ecuación diferencial lineal
Una ecuación diferencial lineal ordinaria es una ecuación diferencial que tiene la forma:

O usando otra notación frecuente:

Vemos que lo que define que una ecuación diferencial sea lineal es que no aparecen productos de la función incógnita consigo misma ni ninguna de sus derivadas. Si usamos la notación para denotar el operadordiferencial lineal de la ecuación anterior, entonces la ecuación anterior puede escribirse como:

Estas ecuaciones tienen la propiedad de que el conjunto de las posibles soluciones tiene estructura de espacio vectorial de dimensión finita cosa que es de gran ayuda a la hora de encontrar dichas soluciones.

Ecuación diferencial exacta

En donde las derivadas *o* parciales de las funciones M yN: y son iguales. Esto es equivalente a decir que existe una función F(x, y)=0 tal que

Donde y . Dado que F(x, y) es una función diferenciable entonces las derivadas mixtas deben ser iguales y esta es la condición .

Ecuación de Jacobi
La ecuación de Jacobi es una ecuación diferencial de la forma:

Con coeficientes reales. La ecuación de Jacobi tiene al menos una solución de la formaSea la matriz

Entonces, si el espectro de A (conjunto de auto valores de A) es

Y los auto valores son distintos dos a dos, definimos los coeficientes como las soluciones del sistema

Por lo tanto los coeficientes son
Sea ahora la función implícita

La solución de la ecuación de Jacobi dada por el auto valor tal que los coeficientes quedan definidos por el sistema en forma matricial...