Seccion3

Los n´
umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Introducci´
on al C´
alculo
Los n´
umeros reales, axiomas de campo y orden, desigualdades
CNM-107
Departamento de Matem´
aticas
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Universidad de Antioquia
Copyleft c 2008. Reproducci´
on permitida bajo los
t´
erminos de la licencia de documentaci´
on libre GNU.

Los n´
umeros realesAxiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Los n´
umeros naturales

Los n´
umeros naturales: Hist´
oricamente surgen ante la necesidad de
contar o enumerar en las diversas civilizaciones. Informalmente
hablando los n´
umeros naturaless son aquellos que sirven para designar
el n´
umero de elementos de um conjunto finito.
N = {0, 1, 2, 3, . . .}

Los n´
umeros reales

Axiomas de campoAxiomas de orden

Desigualdades

Los n´
umeros naturales

Los n´
umeros naturales: Hist´
oricamente surgen ante la necesidad de
contar o enumerar en las diversas civilizaciones. Informalmente
hablando los n´
umeros naturaless son aquellos que sirven para designar
el n´
umero de elementos de um conjunto finito.
N = {0, 1, 2, 3, . . .}
En N se definen las operaciones de adici´
on (+) y multiplicaci´
on(·),
estas operaciones poseen las siguientes propiedades:

Los n´
umeros reales

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Desigualdades

Los n´
umeros naturales

Los n´
umeros naturales: Hist´
oricamente surgen ante la necesidad de
contar o enumerar en las diversas civilizaciones. Informalmente
hablando los n´
umeros naturaless son aquellos que sirven para designar
el n´
umero de elementos de umconjunto finito.
N = {0, 1, 2, 3, . . .}
En N se definen las operaciones de adici´
on (+) y multiplicaci´
on (·),
estas operaciones poseen las siguientes propiedades:

Los n´
umeros reales

1

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ N vale
x+w =
x = y o
=⇒
x·w =
w = z

y+z
y·z

Desigualdades

Los n´
umeros reales

1

2

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Uniformidad:Para cada x, y, w, z ∈ N vale
x+w =
x = y o
=⇒
x·w =
w = z
Asosiatividad: Para cada x, y, z ∈ N vale
(x + y) + z = x + (y + z);
(x · y) · z = x · (y · z).

y+z
y·z

Desigualdades

Los n´
umeros reales

1

2

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ N vale
x+w =
x = y o
=⇒
x·w =
w = z
Asosiatividad: Para cada x, y, z ∈ N vale
(x + y) + z = x + (y + z);
(x · y) · z = x· (y · z).

3

Conmutatividad: Para cada x, y ∈ N vale
x + y = y + x;
x · y = y · x.

y+z
y·z

Desigualdades

Los n´
umeros reales

1

2

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ N vale
x+w =
x = y o
=⇒
x·w =
w = z

Desigualdades

y+z
y·z

Asosiatividad: Para cada x, y, z ∈ N vale
(x + y) + z = x + (y + z);
(x · y) · z = x · (y · z).

3

Conmutatividad: Para cada x,y ∈ N vale
x + y = y + x;
x · y = y · x.

4

Modulativa: Existen elementos neutros, zero (0) y uno (1) tales que
para cada x ∈ N vale
x + 0 = x = 0 + x;
x · 1 = x = 1 · x.

Los n´
umeros reales

1

2

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Uniformidad: Para cada x, y, w, z ∈ N vale
x+w =
x = y o
=⇒
x·w =
w = z

Desigualdades

y+z
y·z

Asosiatividad: Para cada x, y, z ∈ N vale
(x + y) + z = x + (y +z);
(x · y) · z = x · (y · z).

3

Conmutatividad: Para cada x, y ∈ N vale
x + y = y + x;
x · y = y · x.

4

Modulativa: Existen elementos neutros, zero (0) y uno (1) tales que
para cada x ∈ N vale
x + 0 = x = 0 + x;
x · 1 = x = 1 · x.

5

Distributiva: Para cada x, y, z ∈ N vale
x · (y + z) = x · y + x · z.

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umeros reales

1

2

Axiomas de campo

Axiomas de orden

Uniformidad: Para cadax, y, w, z ∈ N vale
x+w =
x = y o
=⇒
x·w =
w = z

Desigualdades

y+z
y·z

Asosiatividad: Para cada x, y, z ∈ N vale
(x + y) + z = x + (y + z);
(x · y) · z = x · (y · z).

3

Conmutatividad: Para cada x, y ∈ N vale
x + y = y + x;
x · y = y · x.

4

Modulativa: Existen elementos neutros, zero (0) y uno (1) tales que
para cada x ∈ N vale
x + 0 = x = 0 + x;
x · 1 = x = 1 · x.

5

Distributiva: Para...