SegParcI2008

UNIVERSIDAD DE COSTA RICA
FACULTAD DE CIENCIAS
ESCUELA DE MATEMATICA

MA-1004 ALGEBRA LINEAL
I CICLO, 2008
17 de mayo de 2008

Segundo examen parcial
Tiempo: 3 horas
Resuelva los cinco ejercicios quese le presentan. Escriba con orden y claridad. Las respuestas deben ser suficientemente justificadas. Si el examen o partes de e´ l se escriben a
l´apiz, se pierde el derecho a hacer reclamos. Total:100 puntos.
1. En R3 se dan los puntos: A = (3, a, 1), B = (−2, −2, 3), C = (b, 2, c), D = (2, − a, 1).
(a) (10 puntos) Determine valores de a, b y c de modo que ABCD sea paralelogramo.
(b) (6puntos) Calcule el a´ rea del tri´angulo de v´ertices A, B, C.
(c) (4 puntos) Determine el coseno del a´ ngulo del paralelogramo cuyo v´ertice es C.
2. Considere los puntos A = (1, 2, 3), B = (−2, 2, 2) y C= (2, −2, 0) en R3 .
´ normal del plano P que contiene los puntos
(a) (10 puntos) Determine la ecuacion
A, B y C.
(b) (10 puntos) Sea D = (−9, −8, 13) otro punto. Verifique que D no est´a en elplano
P y determine el punto E en P m´as cercano a D.
´ de la recta que pasa por D y E.
(c) (5 puntos) Determine la ecuacion
3. Sea L1 la recta que pasa por los puntos A = (3, 1, 3) y B = (2, 2, 2) y L2 larecta de
´ ( x, y, z) = (1 − s, a + s, 2 + s), s ∈ R, donde a es algun
´ numero
´
ecuacion
real fijo.
´ de la recta L1 .
(a) (8 puntos) Determine la ecuacion
(b) (12 puntos) Determine para qu´e valorde a las rectas L1 y L2 se intersecan y
´
encuentre el punto de interseccion.


1
2 −1
2
1 −1 , sea V el subespacio generado por las filas de A y
4. Sea A =  1 −1
1
8 −5
8
4
W = { X ∈ R / AX =0}.
(a) (8 puntos) Calcule una base para V.
(b) (5 puntos) Sin realizar c´alculos diga si las columnas de A son o no son linealmente independientes (explique).
(c) (8 puntos) Calcule una base para W.
´de W y cu´al la de V?
(d) (4 puntos) ¿Cu´al es la dimension
5. (10 puntos) Considere los vectores u, v y w linealmente independientes en Rn . Sean
x, y, z otros tres vectores tales que
x = u − v −...