Selectividad geometria

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA DE P.A.U. C. VALENCIANA

1.-En el espacio se consideran:
• La recta r intersección de dos planos de ecuaciones implícitas: x+y-z=5 y
2x+y-2z=2.
• Y la recta s que pasa por los puntos P=(3,10,5) y Q=(5,12,6). Se pide:
a) Calcular las ecuaciones paramétricas de la recta r y de la recta s.
b) Calcular el punto H de intersección de r y s y el ángulo quedeterminan r y s.
c) Calcular los puntos M y N de la recta r para los que el área de cada uno de los triángulos de vértices PQM y PQN es 3 unidades de área.

2.-Dados los puntos:[pic], se pide:
a) Calcular la distancia del punto C al punto medio del segmento de extremos A y B y el área del triángulo de vértices A,B,C.
b) Calcular las ecuaciones implícitas del plano que pasa porlos puntos A,B,C y del plano que pasa por los puntos L,M,N.
c) Calcular la ecuación paramétrica de la recta intersección de los planos obtenidos en el apartado b) y el ángulo que determinan dichos planos.

3.-En el espacio se consideran:
• La recta r intersección de los planos de ecuaciones implícitas 2x-2y-z=9 y
4x-y+z=42.
• Y la recta s que pasa por los puntos (1,3,-4) y (3,-5,-2).Se pide:
a) Calcular las ecuaciones paramétricas de la recta r y de la recta s.
b) Justificar que las rectas r y s se cruzan.
c) Calcular un vector direccional de la recta t, perpendicular común a las rectas r y s; y calcular el punto P de intersección de las rectas s y t.

4.-En el espacio se consideran:
• El plano [pic] que pasa por los puntos (11,1,2), (5,7,5) y (7,-1,-2).• Y la recta r intersección de los planos de ecuaciones implícitas x+y+z=15 y 2x-7y+2z=3.
a) Calcular la ecuación paramétrica de r y la ecuación implícita del plano [pic].
b) Calcular el punto P de intersección de r y [pic] y el ángulo que determinan r y [pic].
c) Calcular los puntos M y N de la recta r cuya distancia al plano [pic] es igual a 3 u.l.

5.-Se consideran elplano [pic]: y+z-12m=0 (m parámetro real) y las rectas: [pic] .Sean A,B y C los puntos de intersección de [pic] con u,v,w, respectivamente.
a) Calcular las coordenadas de A, B y C en función de m.
b) Hallar los valores de m para los que el área del triángulo ABC es 1 u.a.

6.-Hallar las ecuaciones de los planos que pasan por el punto (-7,2,-3) y tales que las proyeccionesperpendiculares del origen sobre dichos planos son puntos de la recta (x,y,z)=(0,4,1)+t(1,0,0).

7.-Un paralelepípedo rectangular (u ortoedro) tiene tres de sus aristas sobre las rectas: [pic][pic] , y uno de sus vértices es (12,21,-11). Se pide: a) Hallar los vértices restantes. b)Calcular su volumen.

8.- Dados los planos [pic]: 5x-y-z=0, [pic]: x+y-z=0 y el punto P=(9,4,-1), determinar:
a) Laecuación del plano que pasa por P y es perpendicular a [pic]y a [pic].
b) El punto simétrico de P respecto de la recta r , intersección de los planos [pic]y [pic].

9. a) Obtener el plano que pasa por el punto P=(-2,4,-3) y es perpendicular a la recta r: (x,y,z)=(1,2,0)+t(1,-2,1).
b) Calcular la distancia entre el punto P y la recta r.

10.-Consideremos los puntos:A=(1,0,0), B=(0,1,0) C=(0,0,1) y D=(2,1,2). Se pide:
a) Halla el área del triángulo de vértices B,C y D.
b) Calcular el volumen del tetraedro de vértices A, B C, y D.
c) Hallar la distancia del punto A al plano que pasa por los puntos B,C y D.

11.-Sean r y r’ las rectas del espacio R3, determinadas del modo siguiente: r pasa por los puntos A=(3,6,7) y B=(7,8,3) y r’ es la rectaintersección de los planos de ecuaciones: x-4y-z=-10 y 3x-4y+z=-2. Se pide:
a) Calcular de cada una de las rectas r y r’una ecuación paramétrica y determinar la posición relativa de ambas.
b) Calcular la distancia entre las rectas r y r’.
c) Calcular el área del triángulo de vértices A,B, y C, siendo C un punto cualquiera de la recta r’.

12.-Sean r la recta y [pic] el plano de...