SEMANA 04

CURSO: CÁLCULO II
Tema

:

Integración Por Sustitución Trigonométrica

INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA.
Se puede utilizar sustituciones trigonométricas para resolver integrales cuyosintegrandos contengan los radicandos:

a2  u 2

u 2  a2

u 2  a2

Donde u  f (x) una función de x .

Para estos casos, el método más corto para integrar tales funciones es efectuar un
cambio devariable del siguiente modo:

Función

Triangulo a construir

a2  u 2

u 2  a2

u 2  a2

Facultad de Ingeniería

Hacer

u
 sen
a
u
   arcsen  
a

u
 sec 
a

u
   arc sec  
a

u
 tan
a

u
   arctan  
a

Sustitución

u  asen
du  a cos  d

u  a sec 
du  a sec  tan d

u  a tan 
du  a sec2  d

Semestre 2015-I

El propósito de estas sustituciones (o cambiosde variables) es eliminar los radicales.
Eso se consigue con las identidades de Pitágoras:

sen2  cos2   1

,

1  tan 2   sec2 

Ejemplos:
1. Calcular I  

dx
x2  a2

Solución:
En primerlugar, elegimos u  x , puesto que la derivada ésta función es muy fácil
De donde tenemos que:

x2  a2

x
a
 x  a tan 
tan  

x

 dx  a sec2  d


a

 x
a

Además   arctan  , por otrolado
x 2  a 2  a 2 tan 2   a 2  a 2  tan 2   1
 a sec 
2

;

2

Luego sustituyendo en la integral tenemos:

I 

dx
x2  a2

Por lo tanto:





a sec2  d
a 2 sec2 

dx
x2  a2

2.Calcular I  





d 1
  C
a
a

1
 x
arctan   C
a
a

x 2 dx
1  x2

Solución:
Del triángulo se tiene:

x
 sen
1
 x  sen
 dx  cos  d

Facultad de Ingeniería

Semestre 2015-IAdemás cos   1  x 2
Luego en la integral:

x 2 dx

I 

1  x2



sen 2 cos  d
1  cos 2
  sen 2 d  
d
cos 
2

d
cos 2
 sen2

d  
C
2
2
2
4
 2sen cos 
 
C
2
4
 sencos 
 
C
2
2




arcsenx x 1  x 2

C
2
2

3. Calcular I  

x

dx
2

2 

3/2

Solución:

x
 tan 
2

Hacer:

 x  2 tan 
 dx  2 sec2  d
Además:

x 2  2  2 tan 2   2
 2(tan 2...