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Simplificación de funciones lógicas

La parte final de la propuesta de diseño que usted debe presentar a la empresa Diseñar Ltda., debe contener una versión simplificada del circuito inicial.

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Guía de Trabajo

1. Identifique las reglas que se pueden aplicar para reducir una expresión booleana.
2. partir de la función simplificada indique que leyes y teoremas aplicó.3. A partir de la función simplificada realice el esquema y la tabla de verdad correspondiente, compare con la propuesta inicial.

EXPRESIONES BOOLEANAS 

4.3.1 Definición. Una expresión booleana es una sucesión de símbolos que incluye 0,1, algunas variables y las operaciones booleanas. 

Para ser más precisos definamos una expresión boolena en n variables x1, x2..., xn recursivamentecomo:
• Los símbolos 0 y 1 y x1, x2,..., xn son expresiones booleanas en x1, x2,... xn.
• Si E1 y E2 son expresiones booleanas en x1, x2,... xn también lo son E1 + E2; E1 E2 y E1’.

Ejemplo 1.
Las siguientes son cuatro expresiones booleanas en las tres variables x, y, z:
• (x + y)(x + z).1.             x + y.
• x’z + x’y + z’.                 z.
Es obvio que las expresiones dellado izquierdo involucran las tres variables, las del lado derecho dos y una variable respectivamente. Las expresiones booleanas 0 y 1 pueden verse como expresiones en cualquier número de variables. 

  
El número de variables de una expresión booleana es el número de letras distintas que aparezcan en la expresión, sin tener en cuenta si están o no complementadas. 

4.3.2 Formanormal disyuntiva. Una expresión booleana está en forma normal disyuntiva en n variables x1, x2,... xn, si la expresión es una suma de términos del tipo E1 (x1) x E2( x2) x ... x En(xn), donde Ei(xi) = xi o xi’ para i = 1, 2,..., n, y ningún par de términos son idénticos. Además se dice que 0 y 1 están en F.N.D en una variable para todo n ≥ 0.

4.3.2.1 Teorema. Toda expresión booleana que no contieneconstantes es igual a una función en forma normal disyuntiva.
La manera de realizar esa transformación la ilustra el siguiente ejemplo.
 
Ejemplo 2
Escribir (xy’ + xz)’ + x' en F.N.D
 
Solución:
( xy’ + xz)’ + x' = (xy’)’(xz)’ + x'
= (x’ + y)(x’ + z’) + x’
= (x’ + y)x’ + (x’ + y)z’ + x’
= x’ + x’y + x’z’ + yz’ + x’
= x’ + yz’
= x’(y + y’)(z + z’) + yz’(x + x’)
= x’ y z + x’ y z’ + x’ y’z + x’ y’ z’ + x y z’
Cualquier expresión booleana puede colocarse en forma normal disyuntiva en más de una forma. Basta cambiar el número de variables.
 
Ejemplo 3.
f = x y es una expresión booleana en dos variables en F.N.D. Si la multiplicamos por z + z’ (que es 1), obtenemos f = x y z + x y z’ la cual es una expresión booleana en tres variables escrita en F.N.D. 

Se considerará, a menos que sediga otra cosa, que la F.N.D se refiere a aquella forma que contiene el menor número posible de variables. Con esta excepción, se puede demostrar que la F.N.D de una función está determinada unívocamente por la función. 

Si se desea escoger sólo uno de los términos posibles en una F.N.D en n variables, es decir, escoger a x o a x’ para cada una de las n variables xi, i = 1,2,...,n; hayexactamente 2n términos distintos que pueden aparecer. 

4.3.2.2 Definición. La forma normal disyuntiva en n variables, que contiene 2n términos se llama forma normal disyuntiva completa en n variables. 

4.3.2.3 Teorema. Si a cada una de las n variables de una expresión booleana en la F.N.D se le asigna el valor 0 o 1 de una forma arbitraria pero fija, entonces exactamente un término de la F.N.Dcompleta tendrá el valor 1, todos los demás términos tendrán el valor 0. 

Demostración. Suponga que a1, a2,... an, representan los valores asignados a x1, x2,... xn, en ese orden, donde cada ai es 0 o 1. Escoja un término de la forma normal completa como sigue: Use xi si ai = 1, y use xi’ si ai = 0 para cada xi, i = 1,2,...,n. El término así escogido es un producto de n unos, y por lo tanto,...