Serie De Taylor

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TECNOLOGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE IXTAPALUCA





SERIE DE TAYLOR





CALCULO INTEGRAL





JOSE JUAN PEREZ GOMEZ





GUSTAVO MENDOZA JAIMES





TERCER PARCIAL





2201











SERIE DE TAYLOR



Una ecuación diferencial es aquella que contiene una variable dependiente y también las derivadas de ésta en función a una omás variables libres o independientes. En el presente trabajo se considerará sólo el caso de tener una variable independiente, llamadas ecuaciones diferenciales ordinarias.

Para hallar la solución de alguna ecuación diferencial, por lo general, se utilizan técnicas analíticas como el método de las Exactas, Coeficientes Indeterminados, ; pero cuando no se pueden aplicar estas técnicas o resultaríamuy complicado hacerlo se recurre a los métodos numéricos. Es aquí donde entra el Método de la Serie de Taylor

En general, la serie de Taylor proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto.

Pero, para hacer esta aproximación no se pueden considerar todos los términos de la serie, ya que soninfinitos, es por esto que sólo se toman unos cuantos, lo cual conlleva a un error conocido como término residual, el cual representa todos los términos de la serie que no han sido considerados. Elegir el número de términos a considerar queda a criterio de quien aplica el método, pero hay que considerar que a medida que se tomen más términos, mejor será la aproximación y, por ende, menor será el error.Se plantea este método, el de la Serie de Taylor, presentando, en primer lugar, la definición del mismo, así como la definición del Método de Paso Único. Luego, teniendo ya claros estos conceptos, se presenta el método en sí, así como su interpretación gráfica y la descripción del error del mismo.






¿Qué es?
La serie de Taylor es una serie funcional y surge de una ecuación en lacual se puede encontrar una solución aproximada a una función.

¿Para qué sirve?
La serie de Taylor proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto.

Por supuesto, para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar unas cuantas expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un errorconocido como el término residual, es a criterio del que aplica la serie en número de términos que ha de incluir la aproximación.

Pueden resolver por aproximación funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas

¿Cómo funciona?
La serie de Taylor se basa en ir haciendo operaciones según una ecuación general y mientras más operaciones tengan la serie más exacto será el resultado que se estábuscando. Dicha ecuación es la siguiente:



Definición de la Serie de Taylor:



Teorema de Taylor: si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas en el intervalo que contiene a y x, entonces el valor de la función de x está dado por:



fx=fa+f'a(x-a)+f''(a)2!x-a2+f'''(a)3!x-a3+…+fnan!x-an+Rn



donde el residuo Rn es definido como:



Rn=fn+1ξn+1!x-an+1



Eltérmino residual se incluye para considerar todos los términos desde n+1 hasta el infinito.

Esta ecuación es llamada la serie de Taylor o fórmula de Taylor. Si el residuo es omitido, el lado derecho de la ecuación de fx es la aproximación del polinomio de Taylor para fx.



Método de Paso Único

Definición: dada una ecuación diferencial de primer orden

dyxdx=y'x=fyx, x

Siendo yn elvalor de la función obtenida, con yn≠yxn, donde xn=x0+kh y h el paso. Entonces, se dice que un método es de paso único si la determinación de yn+1 sólo involucra un único valor de yn.

Dicho de otra forma, un método de paso único proporciona una función G de forma que

yn+1=yn+hGxn, yn,h



El método de la Serie de Taylor es un método de paso único.



Método de la Serie de Taylor...