Serie_Fourier_I__24527__

SERIE DE FOURIER
Ing. ANGEL, AYALA HERRERA

TELECOMUNICACIONES

Series de Fourier

FITT

La primera serie de Fourier de la historia
Euler 1744 escribe en una carta a un amigo:
  t  sen(nt )
f (t) 


2
n
n 1
sen(2t ) sen(3t )
sen(t ) 

 ...
2
3

¿Es cierto?
Observemos que en t = 0
hay problemas → π/2 = 0 ¡¡
La clave está en el concepto de función periódica.
FITT

FuncionesPeriódicas
Una función periódica f(t) cumple que para todo valor de t:
f(t) = f(t + T).
Al valor mínimo, mayor que cero, de la constante T que cumple
lo anterior se le llama el periodo fundamental (osimplemente periodo)
de la función.
Observa que:
f(t) = f(t + nT), donde n = 0,  1,  2,  3,...
Cuestión:

octubre 2009

¿Es f(t) = cte. una función periódica?

FITT

octubre 2009

FITT

octubre 2009

FITT¿Es la suma de dos funciones periódicas una función
periódica?
Depende. Consideremos la función:
f(t) = cos(w1t) + cos(w2t).
Para que sea periódica se requiere encontrar dos enteros m,
n tales que:w1T = 2p m y w2T = 2p n.
Es decir, que cumplan:
T = m/ (2p w1) = n/ (2p w2)

1 m


2 n
FITT

octubre 2009

FITT

t
sen( 2t ) sen(3t )
sen t 

 ...
2
2
3

Volvamos al resultado
de Euler:¿Cómo lo alcanzó?
S (t ) eit  ei 2t  ei 3t  ... 
cos t  cos(2t )  cos(3t )  ...  i  sen t  sen(2t )  sen(3t )  ...
          


1
2

 S (t ) e it  e i 2t  e i 3t  ...
it
 e S (t ) ei 2t  e i 3t  ...

e it
1 1 sen t
S (t ) 
  i
it
1 e
2 2 1  cos t
FITT

Particularizamos t
para encontrar C:

Integrando
término a término:

sen(2t ) sen(3t )
1
sen t 

...  t  C
2
3
2

1 1 1


t   1     ...   C ; C 
2
4
2
 3  5  7 

4

FITT

t
sen(2t ) sen(3t )
sen t 

 ...
2
2
3

 t
sen( 2t ) sen( 3t )
sen( t ) 

 ...
2
2
3
t
sen(2t ) sen(3t )
  sen(t ) 

 ...
2 2
2
3

FITT

(1) La función de Euler es periódica de periodo T = 2π.
(2) La serie es una función impar.
No es sorprendente, pues se trata de suma de...