serie taylor

Promedios
De una partícula que se esta moviendo sobre una línea recta se obtuvo la información mostrada en las siguientes tablas. Obtener la posición P de la partícula a los 6 segundos
t
0
1
2
3
4
5
6
s
v
1
2
3
4
5
6
7
m/s

t







s
P







m

Caso I



En este caso se toma todo el fenómeno completo y la velocidad inicial como constante.
Caso 2Se vuelve a tomar todo el fenómeno completo pero ahora la velocidad final es la que se toma como constante.
Caso 3

En este caso se toma le fenómeno por partes de variación de tiempo es decir pero se desprecia la ultima velocidad método de Euler.








Caso 4

En este caso se toma la segunda velocidad como velocidad inicial y como velocidad final la que marca el cronometro a los6s.
Caso 5

Para este caso se obtuvieron promedios de las velocidades en cada rango de tiempo de 1s es decir ∆t=1, pero también se toman todas las velocidades.
Caso 6

En este caso se estudia todo el fenómeno completo obteniendo el promedio de la suma de la velocidad inicial mas la velocidad final dividiéndola entre 2 y multiplicando el resultado por el tiempo final.
Tabla de valores 1
t0
1
2
3
4
5
6
v
1
2
3
4
5
6
7

Tabla de valores 2
t







v








Tabla de valores 3
t







P








Donde t es la variable independiente la cual puede ser constante como en el ejemplo que se mantiene aumentando en uno siempre, o bien arbitraria es decir que aumente primero en 1 luego en 3 y el otro en 6, en donde se ve que ya no esconstante su aumento.

C3
De la forma numérica pasaremos a la forma algebraica sustituyendo en C3 los valores dados en la tabla 2 y 3 lo cual queda de la siguiente forma:

Esta formula es igual a la de la regla del punto extremo.
Como en este ejemplo el aumento es constante podemos decir:

Sustituyendo y factor izando en la formula obtenemos:

Expresando la formula como sumatoria tenemos:Como observamos que el punto máximo de la sumatoria es uno menos que el subíndice de la función que deseamos encontrar la formula se expresa de la siguiente forma



Ahora pasaremos el método de Euler de su forma numérica a la forma algebraica.













Nos podemos dar cuenta que todos los subíndices del lado izquierdo de la ecuación son uno menos que el de ladoderecho entonces podemos expresarlo de la siguiente manera.


Para no tener tantos subíndices es mejor expresarlo de la siguiente forma.



Para todas las P serán “y” las v serán “y’” y las t serán “x”



Ahora pasaremos C5 a su forma algebraica



Este es el método de Euler-modificado

En la parte anterior usamos los caminos en los cuales se estudia el fenómeno parte por parte,ahora utilizaremos los caminos donde se estudia el fenómeno completo C1, C2 y C6 y los pondremos en su forma algebraica.
Pero antes tenemos que dar la siguiente relación de las medidas o condiciones iniciales y las condiciones futuras.
Condiciones iniciales
Condiciones futuras










Todas las condiciones iniciales son conocidas o se pueden medir, pero las condiciones futuras no esasson las cantidades que deseamos encontrar.

C1


C2


C6→C3


Nos podemos dar cuenta que con el promedio llegamos a una mejor aproximación ya que si solo utilizamos la primer velocidad nos damos cuenta de que es muy pequeño lo que avanza y si tomamos la ultima velocidad la distancia que avanza es mucha ya que las velocidades no son constantes tienen una variación.
Por lo tanto podemosdecir que el promedio da un resultado mas acertado y podemos escribir:




Agrupando términos

De esta formula conocemos todas las variables excepto entonces obtendremos de la misma forma que obtuvimos



Sustituimos en y obtenemos

Agrupando términos


C4 →

De aquí podemos obtener 6 casos.
C1 →
C2 →
C3 →
C4 →
C5 →
C6 →

E1
E2
E3

Donde podemos...