Series Calculo

MARCO ANTONIO LEAL GUTIERREZ
CALCULO INTEGRAL
SERIE
una serie es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión infinita. Informalmente, es el resultado de sumar los términos: a1 + a2 + a3 + · ·  lo cual suele escribirse en forma más compacta con el símbolo de sumatorio: .

SERIE FINITA E INFINITA
Una serie finita, tiene un primer y último término bien definidos; encambio en una serie infinita, cada uno de los términos suele obtenerse a partir de una determinada regla o fórmula, o por algún algoritmo. Al tener infinitos términos, esta noción suele expresarse como serie infinita, pero a diferencia de las sumas finitas.

Criterio de D'Alembert (Criterio de la razón)
Sea una serie , tal que ak > 0 ( serie de términos positivos).
Si existe

con , elCriterio de D'Alembert establece que:
* si L < 1, la serie converge.
* si L > 1, entonces la serie diverge.
* si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.
En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe.

Criterio de Cauchy (raíz enésima)

Sea una serie , tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe
,siendo 
Entonces, si:
* L < 1, la serie es convergente.
L > 1 entonces la serie es divergente.

SERIE DE POTENCIA
Una serie de potencias alrededor de x=0 es una serie de la forma:

Una serie de potencias alrededor de x=c es una serie de la forma:

En el cual el centro es c, y los coeficientes an son los términos de una sucesion.
 
 EJEMPLOS
* La serie geométrica es una seriede potencias absolutamente convergente si | x | < 1 y divergente si | x | > 1 ó | x | = 1
* La serie de potencias es absolutamente convergente para todo
La serie de potencias solamente converge para x = 0

RADIO DE CONVERGENCIA
Según el teorema de Cauchy-Hadamard el radio de convergencia de una serie de la forma , con , viene dado por la expresión:

Ejemplos
Mostraremos el radiode convergencia de algunos desarrollos en series de potencias con sus respectivos radios de convergencia sin justificar porqué el radio de convergencia es el dado.
RADIO DE CONVERGENCIA FINITO
La función 1 / (1 − x) en su desarrollo con centro 0, o sea, en series de potencia x − x0 = x − 0 = x, tiene el siguiente aspecto:
.
(para el cálculo de la serie vea serie de Taylor). Su radio deconvergencia es r = 1. Eso significa que para calcular si tomo cualquier valor cuya distancia al x0 = 0 es menor que r = 1, por ejemplo el x = 0.25, entonces al remplazarlo en la serie el resultado de calcular la serie será el mismo que remplazarlo en la función, de hecho
.
(la cuenta se puede hacer por serie de potencia). Y por otro lado
.
Pero si tomamos un elemento fuera del radio de convergencia,por ejemplo el x = 2, los más probable es que al remplazarlo en la serie, ésta diverja (por eso el nombre de radio de convergencia). Efectivamente:
.

Serie de Taylor
Una serie de Taylor es una representación de una función como una infinita suma de términos.
Términos que se calculan a partir de las derivadas de la función para un determinado valor de la variable (respecto de la cual sederiva), lo que involucra un punto específico sobre la función.

Fórmula de Taylor
Sea f(x) una función definida en un intervalo que contiene al punto a, con derivada de todos los órdenes.
El polinomio de primer grado p1(x) = f(a) + f ' (a) (x-a) tiene el mismo valor que f(x) en el punto x=a y también, como se comprueba fácilmente, la misma derivada que f(x) en este punto. Su gráfica es una rectatangente a la gráfica de f(x) en el punto a.
Es posible elegir un polinomio de segundo grado, p2(x) = f(a) + f ' (a) (x-a) + ½ f ' ' (a) (x-a)2, tal que en el punto x=a tenga el mismo valor que f(x) y valores también iguales para su primera y segunda derivadas. Su gráfica en el punto a se acercará a la de f(x) más que la anterior. Es natural esperar que si construimos un polinomio que en x=a...