Series De Foureir

Apuntes de la asignatura Ampliación de Cálculo Ignacio Villanueva Díez

Índice general
Capítulo 1. Sucesiones y series de funciones 1. Funciones y espacios funcionales 2. Límites de sucesiones de funciones 3. Convergencia puntual 4. Convergencia uniforme 5. Convergencia en norma 2 6. Series funcionales Capítulo 2. Polinomios y desarrollos en serie de Taylor 1. Introducción y definicionesCapítulo 3. Series de potencias 1. Introducción Capítulo 4. Series de Fourier 1. Introducción y definiciones 2. Convergencia de las series de Fourier Capítulo 5. Transformada Integral de Fourier 1. Definición. 2. Propiedades de la transformada de Fourier Capítulo 6. Aplicaciones a la teoría de la señal. 1. Convolución y filtros 2. Teorema de Nyquist 3. Modulación de amplitud Bibliografía 3 3 8 9 10 15 1823 23 29 29 35 35 45 51 51 54 57 57 60 63 65

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CAPíTULO 1

Sucesiones y series de funciones
1. Funciones y espacios funcionales

A lo largo de este curso trabajaremos a menudo con funciones f : I −→ R, donde I será un intervalo de R. Frecuentemente I será [0, 1], o (−∞, +∞), aunque en general puede ser cualquier intervalo de R. Tendremos necesidad en muchas ocasiones de hablar de “lasfunciones definidas sobre I”. El problema es que el conjunto de todas las funciones reales definidas sobre un intervalo I es en general demasiado grande, poco manejable, y la gran mayoría de funciones que contiene no son interesantes para la ingeniería (ni siquiera para la matemática). Es por ello que necesitaremos definir espacios funcionales más pequeños y manejables y que contengan las funcionesinteresantes para la ingeniería. Por ello pasamos a recordar algunas nociones algebraicas necesarias para poder definir estos espacios: 1.1. Espacios Vectoriales. Comenzamos recordando la noción de Espacio Vectorial. Sea E un conjunto en el que tenemos definida una suma + : E × E −→ E de manera que (E, +) es un grupo conmutativo, es decir, + verifica las siguientes propiedades: 1. Asociatividad, esdecir, para todos x, y, z ∈ E, (x + y) + z = x + (y + z) 2. Conmutatividad, es decir, para todos x, y ∈ E, x+y =y+x 3. Existencia de Elemento neutro, es decir, existe un elemento 0 ∈ E tal que para todo x ∈ E, x + 0 = x. 4. Existencia de Elemento Simétrico, es decir, para todo x ∈ E existe −x ∈ E tal que x + (−x) = 0
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1. SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES

Sea ahora K = R ó C el cuerpode los escalares, y supongamos que existe un producto · : K × E −→ E con las siguientes propiedades 1. Para todos α, β ∈ K, para todo x ∈ E, (αβ) · x = α · (β · x) 2. Para todos α, β ∈ K y para todo x ∈ E, (α + β) · x = α · x + β · x 3. Para todos x, y ∈ E y para todo α ∈ K, α · (x + y) = α · x + α · y 4. Para todo x ∈ E 1·x=x (Habitualmente se omite la escritura del punto ·) En ese caso decimosque E es un espacio vectorial sobre K. Ya conocéis del curso pasado algunos ejemplos de espacios vectoriales, la mayor parte de ellos finito dimensionales, siendo Rn o Cn el prototipo de estos. En este curso utilizaremos a menudo, explícita o implícitamente, espacios vectoriales de dimensión infinita. Veamos algunos de ellos. Ejemplo 1.1. Sea R[0,1] el espacio de todas las funciones f : [0, 1] −→ R.Consideramos en él la suma y el producto puntuales, es decir (f + g)(x) := f (x) + g(x) y (αf )(x) = αf (x). Con dichas suma y producto, R[0,1] es un espacio vectorial. Ejemplo 1.2. Sea C[0, 1] el conjunto de las funciones f : [0, 1] −→ R continuas, dotado de nuevo con la suma y el producto puntuales. Entonces C[0, 1] es un subespacio vectorial de R[0,1] . Análogamente, C 1 [0, 1], el conjunto delas funciones f : [0, 1] −→ R con derivada continua también es subespacio vectorial de R[0,1] . Es fácil demostrar que todos los espacios que aparecen en los ejemplos anteriores tienen dimensión infinita. Basta con observar que por ejemplo el conjunto de vectores {xn ; n ∈ N} contenido en todos ellos es linealmente independiente.

1. FUNCIONES Y ESPACIOS FUNCIONALES

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1.2. Normas en un...