series de taylor


Series de Taylor
Definición
La serie de Taylor de una función f real o compleja ƒ(x) infinitamente diferenciable en el entorno de unnúmero real o complejo a es la siguiente serie de potencias:

que puede ser escrito de una manera más compacta como la siguiente sumatoria:

Donde n! esel factorial de n y f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f para el valor a de la variable respecto de la cual se deriva. La derivada de orden cero de f es definida como lapropia f y tanto (x − a)0 como  como  1 ( = 1). En caso de ser a = 0, como ya se mencionara, la serie se denomina también de Maclaurin.
Cabe destacarque en una serie de Taylor de potencias centrada en a de la forma  siempre se puede hacer el cambio de variable  (con lo que  en la función a desarrollaroriginal) para expresarla como  centrada en 0. Luego hay que deshacer el cambio de variable. Por ejemplo, si se quiere desarrollar la función  alrededorde a = 1 se puede tomar, de manera que se desarrollaría  centrada en 0.


Ejercicio 1
Encuentre una serie de Maclaurin para 
Utilizando la serie  vemosque el exponente de la x se incrementará en 2 y que por tener e un exponente negativo tendremos una serie alternante, obteniendo así la serie para lafunción de la siguiente manera


Ejercicio 2

Forme la serie de Maclaurin para el sen x y demuestre que representa a sen x.
 
 
 
 
Como se repitenlas derivadas en ciclos de cuatro la serie se puede expresar como:


Ya que  es senx o cosx, se sabe que  para toda x.
=