Señalamiento de delitos y/o faltas administrativas aplicables a la información.

INCREMENTOS Y DIFERENCIALES.

Incrementos y diferenciales
Para funciones de una variable

y la diferencial de

, se define el incremento de

como

representa el cambio en la altura de lacurva
variación en
.

como

a lo largo de la recta tangente cuando

En la siguiente figura se muestra

y

representa la

varía en una cantidad

.

Figura 1: diferencial

Observe quey al hacer
Por tanto

se aproxima a cero más rápidamente que

, tenemos que

.

, ya que

donde

conforme

.

Ahora consideremos una función de dos variables
Si
es

y

sonincrementados

Con lo cual

y

.

, entonces el correspondiente incremento de

representa el cambio en el valor de

cuando

cambia a

.

Definición
Sean
y de

una función escalary

incrementos de

, entonces la diferencial total de la variable dependiente

Ejemplo 1
Calcule la diferencial total para la función

Las derivadas parciales están dadas por

de dondey

es

Teorema (aproximación lineal)
Sea
y

una función escalar continua en
son incrementos de

que

y de

. Suponga que

, lo suficientemente pequeños para

, entonces si lasderivadas parciales

son continuas en

y

el incremento de la variable dependiente

puede escribirse como

donde
cuando
cuando

Los incrementos

y

se les llama diferenciales de lasvariables independientes y

se denotan por
y
.
Observación: Este teorema afirma que el cambio real en

es aproximadamente igual

a la diferencial total

son pequeños, es decir,

, cuando losincrementos

y

.
Ejemplo 2
El radio de la base y la altura de un cono circular recto miden
y
,
respectivamente, con un posible error en la medición de
, cuando mucho.
Utilice diferencialespara estimar el error máximo en el volumen del cono.
Solución
El volumen de un cono es

, con lo cual la diferencial total es

Puesto que los errores son, cuando mucho, del orden de

,...