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Pauta Control 3 - C´lculo en Varias Variables a Escuela de Ingenier´ Universidad de Chile ıa, Mi´rcoles 14 de Noviembre, 2012 e Profesor de C´tedra: Jaime H. Ortega a Profesores Auxiliares: Anton Svensson - Mat´ Godoy Campbell ıas

Pregunta 1. a) Sea f una funci´n continua R ⊂ R2 . Con R = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b} Demuestre que existen: o m := m´ (x,y)∈R f (x, y) y M := m´x(x,y)∈R f (x,y) tales que: ın a m · ab ≤
R

f ≤ M · ab

b) Si f (x, y) = ey+x . Demuestre que para R = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} 1≤
R

f ≤ e2

Soluci´n: a) Primero que todo, notemos que la existencia de los n´meros m y M est´ asegurada puesto que f o u a es una funci´n continua en el compacto R (pues es un conjunto cerrado y acotado). (0.5 Puntos) o Por monotonia de la integral, si definimosg(x) = m ∀x ∈ R y h(x) = M ∀x ∈ R, notando que g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) ∀x ∈ R entonces: g≤
R R

f≤
R

h (0.5 Puntos)

(no es necesario hacerlo tan detallado, basta notar/argumentar que en R: m ≤ f ≤ M ) y como las funciones g y h son constantes, entonces: g=
R R

m=m
R

´ 1 = m · Area(R) = m · ab ´ 1 = M · Area(R) = M · ab
R

h=
R R

M =M

de donde se concluye que: m · ab ≤
R

f≤ M · ab

(2.0 Puntos)

Notar que es posible probar esto con sumas de Riemann, aunque es mucho m´s tedioso. (Ver Pauta Auxiliar 10) a b) Notemos primero que todo que f (x, y) = ey+x es continua en todo R2 , en particular en R (que en este caso es el cuadrado [0, 1] × [0, 1] pues a = b = 1) (0.5 Puntos), por lo tanto, por la parte anterior: m≤
R

f ≤M

donde m y M son el m´ximo y m´ a ınimode la funci´n en este compacto. o Para concluir, notemos que y + x ∈ [0, 2] si x, y ∈ [0, 1] × [0, 1] (1 Punto) y como la funci´n de una variao ble et es creciente, entonces, si t = x+y ∈ [0, 2] se deduce que: m = e0 = 1, M = e2 y se concluye. (1.5 Puntos) Pregunta 2. a) Hallar el volumen del s´lido limitado por las superficies z = x2 + y 2 y z = 4 − y 2 o b) Calcule el volumen del s´lido limitadopor: o x2 + y 2 + z 2 = 1 3z 2 = x2 + y 2 z 2 = x2 + y 2
1

2

Soluci´n: a) Notando que, si estudiamos la intersecci´n de las superficies, se obtiene que: o o y √ =1 2 es decir, todo punto perteneciente a ambas superficies a altura z dada, est´ en la elipse de ecuaci´n a o z = x2 + y 2 = 4 − y 2 ⇔ x2 + 2y 2 = 4 ⇔ x 2 +
x 2 2 2 2

+

y √ 2

2

= 1.

Por lo tanto, se tiene que elvolumen considerado es el vol´men de la regi´n D dada por (hagan un dibujo y se u o convencer´n de las desigualdades): a D = {(x, y, z) | x2 + y 2 ≤ z ≤ 4 − y 2 ∧ x2 + 2y 2 ≤ 4} Luego como: V ol(D) =
D

(1 Punto)

1dxdydz

entonces, como la restricci´n de estar en la elipse es independiente de z, se tiene: o
4−y 2

V ol(D) =
E

dxdy
x2 +y 2

1dz

luego: V ol(D) =
E

4 − 2y 2 − x2dxdy
x 2 2

(1 Punto)

donde E = {(x, y) | x2 +2y 2 ≤ 4} =

(x, y) |

+

y √ 2

2

≤ 1 . Esto sugiere el cambio de variables siguiente:

x = 2ρ cos θ, y =

√

2ρ sin θ, ρ ∈ [0, 1], θ ∈ [0, 2π]

que lleva el rect´ngulo asociado en (ρ, θ) a E, as´ por cambio de variables (notando que en este caso | det T | = a ı, √ 2 2ρ): √ 1 2π 1 √ √ √ 2 32 2 2 2 2 2 V ol(D) = 4 − 2y − x dxdy= (4 − 4ρ ) · 2 2ρdθdρ = 16 2π (1 − ρ )ρdρ = 16 2π = π 3 3 E 0 0 0 (1 Punto) por concluir. b) En esta parte basta notar que la regi´n donde debemos integrar es la regi´n comprendida entre los coo o nos de ecuaciones z 2 = x2 + y 2 , 3z 2 = x2 + y 2 y dentro de la esfera de ecuaci´n x2 + y 2 + z 2 = 1. Es f´cil notar o a que se tiene en tal caso que: x2 + y 2 ≤ z ≤ x2 + y 2 ∧ x2 + y 2 + z 2 ≤ 1} 3lo natural es describir esta regi´n en coordenadas esf´ricas, notando que cada cono (como superficie) inscrito en o e una esfera se ver como los puntos con ´ngulo azimutal ϕ fijo, θ ∈ [0, 2π] y r ∈ [0, R], si el cono tiene ecuaci´n a o Az 2 = x2 + y 2 , A > 0 entonces: 1 ϕ = arctan √ A en nuestro caso, al cono de ecuaci´n 3z 2 = x2 +y 2 , le corresponde el ´ngulo azimutal ϕ = π y al cono z 2 =...