Sigma Algebra

Sigma-´lgebras
a
Objetivos. Definir la noci´n de σ -´lgebra y estudiar sus propiedades b´sicas. Definir la
o
a
a
noci´n de σ -´lgebra generada por un conjunto de conjuntos.
o
a
Requisitos.Operaciones con conjuntos, operaciones con familias de conjuntos.
1. Notaci´n (conjunto potencia, conjunto de los subconjuntos). Sea X un cono
junto. Entonces denotemos por 2X al conjunto de todos lossubconjuntos de X .
2. Definici´n (σ -´lgebra). Sea X un conjunto. Un conjunto F ⊂ 2X se llama σ -´lgebra
o
a
a
sobre X si cumple con las siguientes condiciones:
1. X ∈ F.
2. F es cerrado bajocomplementos: si A ∈ F, entonces X \ A ∈ F.
3. F es cerrado bajo uniones numerables: si Ai ∈ F para todo i ∈ N y B =
entonces B ∈ F.

i∈ N

Ai ,

3. Propiedades elementales de σ -´lgebras. Se Funa σ -´lgebra sobre X . Entonces:
a
a
1. ∅ ∈ F.
2. F es cerrada bajo intersecciones numerables:
si Ai ∈ F para todo i ∈ N, entonces i∈N Ai ∈ F.
3. F es cerrada bajo uniones finitas:
si Ai ∈ Fpara todo i ∈ {1, . . . , m}, entonces

m
i=1

Ai ∈ F.

4. F es cerrada bajo intersecciones finitas:
si Ai ∈ F para todo i ∈ {1, . . . , m}, entonces

m
i=1

Ai ∈ F.

5. F es cerradabajo la operaci´n de diferencia de conjuntos:
o
si A, B ∈ F, entonces A \ B ∈ F.

Sigma-´lgebras, p´gina 1 de 4
a
a

Ejemplos de σ -´lgebras
a
4. Ejemplo de σ -´lgebra: conjunto potencia. SeaX un conjunto. Entonces 2X es
a
una σ -´lgebra sobre X .
a

5. Ejemplo de σ -´lgebra: subconjuntos numerables y sus complementos. Sea
a
X un conjunto no numerable. Denotemos por N al conjuntode todos los subconjuntos
finitos o numerables de X :
N := Y ⊂ X : Y es finito o numerable .
Denotemos por F al conjunto que consiste en todos los subconjuntos finitos o numerables
de X y todossubconjuntos de X cuyos complementos son finitos o numerables:
F := Y ⊂ X : Y ∈ N ∨ Y c ∈ N .
Entonces F es una σ -´lgebra.
a
Indicaci´n acerca de la demostraci´n. En la demostraci´n de la propiedad 3...