Sigmas

Matemáticas







MATRICES SIGMA.

Para centrar el objeto de nuestro estudio, comenzamos definiendo una matriz sigma. Dada la dualidad existente entre las filas y las columnas de una matriz cuadrada, en lo que respecta al determinante de ésta, los resultados que obtengamos para una matriz sigma por columnas serán aplicables a una matriz sigma por filas.

DEFINICIONES Y PROPIEDADESDefinición 1.- Sea A una matriz nxn, cuyos elementos son polinomios en una o varias indeterminadas (que en todo caso denominaremos simplemente por x) y que puede escribirse en la forma (1)

[pic]
donde Aij(x) son matrices cuadradas de orden r, con r x s = n.
Diremos que A(x) es una matriz sigma, por columnas, de grado r, [pic](o, simplemente, matriz sigma) si podemos tomar en ellas sumasequivalentes de la forma (2):
[pic]
siendo[pic] una matriz cuadrada de orden r sin ninguna restricción adicional.

Definición 2.- Sea A una matriz de dimensión n x n. Diremos que una matriz de dimensión n x r, denotada Mr es una matriz propia de A, asociada al factor propio [pic], de dimensión r x r, si se cumple (3):

[pic]

siendo una matriz cuadrada cualquiera.

Según [1] , una ecuacióncomo (3) implica que todos los valores propios de [pic]son valores propios de A.
Está claro que si r = 1, la anterior definición es equivalente a la de vector propio y valor propio, ya que todo escalar conmuta con cualquier matriz.

Definición 3.- Diremos que una matriz cuadrada es r-diagonal si todos sus elementos, salvo tal vez los formados por submatrices cuadradas de orden r, que se sitúan alo largo de su diagonal principal, son nulos.

Lema 1.- Una matriz r-diagonal será singular sii lo es alguna de las submatrices que la forman.
Demostración.- Para que una matriz cuadrada A sea singular, es condición necesaria y suficiente que se tenga det A = 0, pero sabemos que para una matriz diagonal por bloques, como es el caso de una matriz r-diagonal, se cumple [2] (4):

[pic]

porlo tanto, si det Aii = 0, para algún i, resulta det A = 0, y queda demostrado lo que nos proponíamos.

TEOREMA 1

.- Si una matriz de dimensión n x n, con n = r x s, tiene una matriz propia de dimensión n x r, entonces existe una matriz particularmente sencilla que por una transformación de semejanza convierte a la matriz A en una matriz de tipo sigma.
Si la matriz propia no tiene componentessingulares, la matriz de transformación es r-diagonal y se obtiene directamente de aquella.
Demostración.- Según la definición 2 podemos escribir (5):

[pic]

donde B es una matriz propia de A y [pic]su factor propio asociado. Tomando traspuestas resulta (6) :

[pic]

y desarrollando (7):

[pic]

Si la matriz propia no tiene componentes singulares, podemos multiplicar a derecha porlas inversas respectivas de (8)

[pic]

para obtener (9):

[pic]

Los miembros izquierdos de este sistema de ecuaciones pueden agruparse en la forma (10) :

[pic]

de la que se deduce (11) :

[pic]

Por lo tanto, cuando la matriz propia no tiene componentes singulares, la matriz de transformación es r-diagonal.
Si la matriz propia tiene componentes singulares podemos considerar unamatriz de transformación que cumpla (12):

[pic]

Para algún Bk singular, la matriz C más sencilla que cumpla las propiedades requeridas será de la forma (13):

[pic]

Con Fj no singular en la posición de Cjj ; Bj - Fj en la posición de Cjs y nulos todos los elementos no señalados fuera de la r-diagonal principal.

Teniendo en cuenta que la matriz inversa de C se obtiene invirtiendo cadauna de las submatrices de la r-diagonal principal.

y colocando el elemento -B-1(Bj - Fj)Fj-1 en la posición de Cjs tendremos que los elementos de la matriz (14) :

[pic]

cumplen :
a) Para todas las columnas distintas de la j-ésima (15) :

[pic]

b) Para la columna j-ésima (16) :

[pic]

Deshaciendo paréntesis y reagrupando términos nos queda (17) :

[pic]

Puesto que (B1T,...