simbolos patrios



PRÁCTICA NO. 1: AJUSTE DE CURVAS I

Propósito: Aplicar el método estadístico a una serie de datos para encontrar la relación matemática existente que define un comportamiento lineal.

Fundamento:
Uno de los problemas más importantes en matemáticas aplicadas es el ajuste de curvas (incluyendo las rectas), para datos observados o experimentales. Esto puede ser con objeto de descubrir unaley física conocida a un caso particular; por ejemplo puede ser para mostrar la tendencia del precio de un artículo de acero o cemento; o puede ser con el fin de calcular la resistencia a la tracción de un nuevo tipo de aleación a partir de su dureza.
Es bien conocido cómo ajustar una recta para que pase por un par de puntos, ahora es diferente, tenemos un número de pares de valores de dosvariables relacionadas que se han obtenido mediante medida, cuenta o algún otro método de observación. Transportamos los puntos correspondientes a estos datos a una gráfica y vemos que están más o menos cerca de una recta o de una curva. Deseamos ajustar a ellos una recta o una curva de tipo simple, no una curva que pase por todos ellos, sino una recta o curva que pase razonablemente cerca de lamayoría. Se puede mencionar por ahora que los tipos de curvas que se emplean con mayor frecuencia para este ajuste son las rectas, las polinomiales, las de potencia, las exponenciales y las logarítmicas. Empezaremos con la más sencilla la línea recta.

Curva de Mínimos Cuadrados:
Es manifiestamente imposible pasar una recta por todos los puntos de la figura 1. Sin embargo, es posible hallar una curvaque tenga la propiedad de que la suma de cuadrados de las distancias verticales, o desviaciones, de los puntos a la curva, sea un valor mínimo.



Esta curva es llamada curva de mínimos cuadrados. En estadística se denomina también curva de regresión o curva de tendencia.



Para hallar la ecuación de la curva de mínimos cuadrados para n puntos

( x1, y1 ), ( x2, y2 ), . . . . . . . . .. . . . ( xn, yn ), (1)

supongamos que esta ecuación es :

y = mx + b. (2)

Demostraremos ahora cómo determinar los valores de m y b.

Si (2) es la ecuación de mínimos cuadrados, la ordenada del punto de la curva correspondiente al primero de los puntos ( 1 ) es y’ = mx1 + b. La desviación vertical de este punto desde la curva es y1 – y’, o bien, y1 – mx1 – b. Estadesviación se denomina, en ocasiones, un residuo.

El cuadrado del residuo para el primer punto es:

( y1 – y’ )2 = ( y1 – mx1 – b )2 = y12 – 2mx1y1 – 2by1 + m2x12 + 2mbx1 + b2

Hay una expresión correspondiente para cada punto, la única diferencia reside en el subíndice, que tomaría todos los valores enteros desde 1 hasta n. Si sumamos todas estas expresiones obtenemos:

( y – yi )2 = yi2 –2mxiyi – 2byi +m2xi2 + 2mbxi +nb2 (3)

donde  es el símbolo para la suma.

Ordenando el segundo miembro de ( 3 ) según las potencias decrecientes de b, obtenemos:

nb2 – 2b ( yi – mxi ) + yi2 – 2mxiyi +m2xi2 (4)

En forma similar, ordenando según las potencias decrecientes de m, obtenemos:

m2xi2 + 2m ( bxi – xiyi ) + yi2 – 2byi + nb2 (5)

La expresiones ( 4 ) y ( 5) son cuadráticas en b y m respectivamente. Por propiedades de las parábolas, los valores mínimos para cada valor b y m serán:

b = ( yi – mxi ) / n , m = ( xiyi – bxi ) / xi2 , (6)

respectivamente. Estas ecuaciones se pueden escribir en la forma:

bn + mxi = yi , bxi +mxi2 = xiyi (7)

las ecuaciones ( 7 ) se denominan ecuaciones normales y cuyasincógnitas son la b y la m , se pueden resolver por cualquier método conocido, resultando:


b = ( yi*xi2 – xi*xiyi ) / ( nxi2 – ( xi )2 ) (8)

m = ( nxiyi – xi*yi ) / ( nxi2 – ( xi )2 ) (9)

Las ecuaciones (8) y (9) son las que minimizan la distancia vertical y por ende las que usaremos de aquí en adelante. Nos auxiliaremos de la siguiente tabulación:...