Simetria y Teoria de grupos

QUÍMICA INORGÁNICA
Simetría y Teoría de Grupos

Rogelio Jiménez Cataño

Elementos y Operaciones de
Simetría
Elementos: Planos, ejes y centros.
Operaciones de simetría: Corresponden a
movimientos de la molécula sobre sus elementos de
simetría en condiciones que lleven a una estructura
indistinguible de la que se tenía antes de la operación.
Operación identidad, E: No provoca cambioalguno.
Se puede aplicar a cualquier molécula.

Rotación propia, Cn: Consiste en girar 360/n grados
alrededor de un eje Cn.
Eje C3

Eje C3
rotación C3

H2
H3

N
H1

H1
H2

N
H3

Reflexión, σ: Proyección de la imagen deseada a través
de un plano de reflexión.
Para la molécula de agua, el plano de la molécula es
un plano de reflexión. Hay otro plano de reflexiónperpendicular al anterior, que bisecta el ángulo H-O-H.
 
El HCCl3 tiene 3 planos de simetría, cada uno
conteniendo los átomos H, C y un átomo de cloro.
Los planos de reflexión que contienen al eje principal
se llaman planos verticales, σv.

Inversión, i: Cada átomo se proyecta a través de
un punto central i hasta quedar en posición opuesta
a la inicial y a la misma distancia que al principio.
H1H3
H2

C

C

H4
H5

H6

i

H4
H5

H6

C

C

H3
H2
H1

Rotación-reflexión, Sn: Implica un giro de 360º/n y
reflexión a través de un plano o rotación impropia
perpendicular al eje.
H1

S6

H3
H2

C

C

H4
H5
H6

S6

H4
H5
H6

C

C

H2
H1
H3

Asignación del Grupo de Simetría

¿Es de baja
simetría?

Sí

E → C1
σ → Cs
i → Ci

No¿Es lineal?

Sí

C∞ , ∞σv → C∞v
C∞ , ∞σv , σh ⊥ C∞ → D∞h

No
¿Es de alta
simetría?

Sí

No
Identifique el eje principal, Cn

Tetraédrica
→ T, Th , Td
Octaédrica
→ O, Oh
Dodecaédrica
o Icosaédrica → I, Ih

Asignación del Grupo de Simetría. Continuación.
Identifique el eje principal, Cn

Grupos C o S2n

¿σh?

No

Cnh

¿Tiene ejes
C2 ⊥ a Cn ?

Sí

Grupos D¿σh?
No

No
¿σv?

Cnv

No
¿S2n?*
No

Dnh

¿σd bisectando
ejes C2?

Dnd

No

S2n
Dn

Cn

*2n implica un número par. Si fuera impar, Sn= Cnh
S2n es muy raro.

Características Matemáticas de un Grupo
1. Está formado por un conjunto de elementos a, b,
c,... En el caso de los grupos de simetría, los
elementos serían las operaciones de simetría del
grupo. Por ejemplo, parael grupo C3v:

ˆ , C 3 , C 32 , σ v1 , σ v 2 , σ v 3
E ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ
1. Contiene a la operación identidad cuya
aplicación junto a otro operador es conmutativa:

ˆ
ˆ
EA = AE = A

1. Cada operación debe tener una operación inversa
que, cuando se combine con la operación directa,
resulta en la operación identidad. Ejemplo:
H2

C3
N

H1

N

H1

H3

C3

2

H2

H3

NH2

H1

H3

1. El producto de dos operaciones cualesquiera debe
resultar en algún elemento del grupo.
H2

C3
N

H3

H1

N

H1
H2

H3

σv1

H2

N
H1

H3

1. Existe la propiedad asociativa:

ˆ ˆˆ
ˆˆ ˆ
X (YZ ) = ( XY ) Z
Nota: La aplicación de los operadores se realiza de
derecha a izquierda.

Representación Matricial de Grupos
Los operadores de simetría enlos grupos pueden
representarse por matrices que actúan sobre las
coordenadas de un sistema:
[operador][coordenadas iniciales]=[coordenadas finales]
Si tomamos un ejemplo del grupo C2v, como es el
agua, podemos visualizar con facilidad las matrices
correspondientes a cada uno de sus operadores:
z
y
x

O
H1

H2

Elementos de simetría:
E
C2 (eje z)
σv (xz)
σv (yz)

Laoperación C2 cambia el signo de las coordenadas x e y
de un punto cualquiera P(x,y,z) y deja inalterada la
coordenada z.
 − 1 0 0  x   − x 
 0 − 1 0  y  =  − y 

   
 0 0 1  z   z 

   

Entonces,

− 1 0 0
ˆ
C2 =  0 − 1 0


 0 0 1



Similarmente:

1 0 0 
1 0 0 
 − 1 0 0
ˆ
E = 0 1 0; σ v ( xz ) = 0 − 1 0; σ v ( yz ) =  0 1...