Simplificando Expresiones Racionales

Simplificando Expresiones Racionales
 
Objetivo de Aprendizaje
         Simplificar fracciones con polinomios en el numerador y en el denominador usando factorización
 
Introducción
 
Las expresiones racionales son fracciones que tienen un polinomio en el numerador o en el denominador o en ambos. Aunque las expresiones racionales pueden parecer complicadas porque contienen variables, pueden sersimplificadas de la misma forma que las fracciones numéricas.
 
Encontrando el Dominio de una Expresión
 
El primer paso para simplificar una expresión racional es determinar el dominio, para establecer todos los posibles valores y variables. El denominador en una fracción no puede ser cero porque la división entre cero no está definida. Entonces necesitamos encontrar qué valores de las variablesen la expresión harían el denominador igual a cero. Estos valores no pueden estar incluidos en el dominio, por lo que son llamados valores excluidos. Los descartamos desde el inicio, antes de continuar.
 
Para las expresiones racionales, el dominio excluirá los valores para los que el valor del denominador es 0. Dos ejemplos que ilustran la búsqueda del dominio de la expresión se muestran acontinuación.
 
Ejemplo
Problema
Identificar el dominio de la expresión
 
 
 x – 4 = 0
 
 
Encontrar un valor de x que haría el denominador = 0
 
 
x = 4
 
Cuando x = 4, el denominador es igual a 0
Solución
 
El domino son todos los valores de x que no son igual a 4
 
 
No fue difícil, Intentemos con uno un poco más complicado:
 
Ejemplo
Problema
Identificar el dominio de la expresión
 
 
= 0
 
 Encontrar un valor de x que haría el denominador = 0. Igualar el denominador a 0 y resolver la ecuación
 
 
 (x + 9)(x – 1) = 0
 
x = -9 o x = 1
 
Resolver la ecuación factorizando. Las soluciones son los valores que se excluyen del dominio
Solución
 
El dominio son todos los valores de x distintos de -9 o 1
 
 







 
 
Encontrar el dominio de la expresión racional .
A) todos los valores de x
B)todos los valores de x distintos de 2 o 8
C) todos los valores de x distintos de 0
D) todos los valores de x distintos de -2, 2
 
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Simplificando Expresiones Racionales
 
Una vez que has encontrado los valores excluidos, el siguiente paso es simplificar. Para simplificar una expresión racional, debemos seguir el mismo método que usaríamos para simplificar fraccionesnuméricas: encontrar factores comunes en el numerador y en el denominador. Empecemos con una fracción numérica para entender este método:
 
Ejemplo
Problema
Simplificar
 
 
 

 
Factorizar el numerador y el denominador
 

 
Sacar los factores de 1
 

 
 
Simplificar
Solución

 
 
 
 
Bueno, habríamos podido hacer este problema mentalmente. Pero valía la pena escribirlo, porque así es exactamentecomo simplificamos una expresión racional.
 
Entonces vamos a simplificar una expresión racional, usando la misma técnica que acabamos de aplicar para la fracción. Sólo que esta vez el numerador y el denominador son monomios con variables:
 
Ejemplo
Problema
Simplificar  y encontrar el dominio de la expresión
 
25xy = 0
 
x = 0 o y = 0
 
El dominio son todos los valores de x distintos de 0 ytodos los de y distintos de 0
 
Encontrar los valores excluidos, los valores de x y y que hacen el denominador igual a 0
 

 
Factorizar el numerador y el denominador
 

 

 
 
Reescribir con factores de 1
 

 
Simplificar
Solución

 
El dominio son todos los valores de x distintos de 0 y todos los de y distintos de 0
 
 
 
 
Observa — los mismos pasos funcionaron de nuevo. En los ejemplos que siguen,el numerador y el denominador son polinomios con más de un término, pero aplican los mismos principios de simplificación. Factorizar el numerador y el denominador para simplificar la expresión racional.
 
Ejemplo
Problema
Simplificar y encontrar el dominio de la expresión
 
 
x2 + 12x + 27 = 0
 
(x + 3)(x + 9) = 0
 
x = -3  o x = -9
 
Determinar los valores para los que el denominador es igual...