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Calculo 3: 2014-1

CURVAS DE NIVEL
Una manera muy práctica de visualizar la gráfica de una función de n variables es a través
de las curvas de nivel, para esto consideremos la función f : R 2  Rtal que z  f ( x, y) (n
= 2), cuya gráfica de esta función es una superficie de R 3 . Supongamos que la superficie
z  f ( x, y) se corta mediante una familia de planos paralelos al planocoordenado xy que

son de la forma z  k (k  0, 1, 2,..., n) cuyas intersecciones son curvas que al
proyectarlo sobre el plano xy, tiene por ecuación f ( x, y)  k , a esta curvas se le llaman
curvasde nivel de la función f en k y al conjunto de de curvas de nivel se llama mapeo
de contorno.
En forma similar para el caso f : 3  , se obtienen f ( x, y, z )  k llamadas superficies
de nivel.APLICACIONES DE LAS CURVAS DE NIVEL

Una vez elaborado el mapa topográfico con la representación gráfica del terreno por medio
de curvas de nivel, podemos utilizar el mismo de diferentes manerasen la planificación y
ejecución de obras civiles, usos agrícolas y pecuarios., ordenamiento territorial,
planificación etc.
Un mapa topográfico bien elaborado constituye una base de informaciónindispensable en
la planificación, ejecución y control de todo proyecto.
De un mapa topográfico con curvas de nivel podemos determinar la cota o elevación de
cualquier punto sobre el plano, lapendiente entre dos puntos, estimar los volúmenes de
corte y relleno de material requerido en la ejecución de una obra y proyectar trazado de
vías, etc. A continuación presentamos gráficas de curvas denivel.

Calculo 3: 2014-1

Figura 1 Mapa topográfico de Armenia

Figura 2

Figura 3

Ejemplo 1.- Sea f : R2  R / z  f ( x, y)  x 2  y 2 , hallar las curvas de nivel y hacer la
gráfica deesta superficie.
Solución
Determinaremos las curvas de nivel, haciendo z  k , es decir x 2  y 2  k que son familias
de circunferencias.

15

10

5

0
4

3

2

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0

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