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UNIVERSIDAD POLITECNICA
DE MADRID
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FACULTAD DE INFORMATICA

SISTEMAS DE COLAS EXPONENCIALES

Ma ISABEL RODR´IGUEZ GALIANO

Madrid, Junio de 2002

´Indice
1 Introducci´
on

1

2 Sistema de Colas M/M/1

3

3 Sistema de Colas M/M/1/K

11

4 Sistema de Colas M/M/c

14

5 Sistema de Colas M/M/∞

18

6 Sistema de Colas M/M/c/c

20

7 Sistema de Colas M/M/1/K/K22

8 Sistema de Colas M/M/c//K o M/M/c/K/K

27

Bibliograf´ıa

29

Ap´
endice

30

Gr´afico de la F´ormula C de Erlang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Gr´afico de la F´ormula B de Erlang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

I

1

Introducci´
on
La teor´ıa de colas estudia la construcci´on y el an´alisis de modelosmatem´aticos de sistemas

que dan servicio a clientes cuyos tiempos de llegada y requisitos de servicio son aleatorios.
Las dos cuestiones b´asicas son el an´alisis y el dise˜
no de tales sistemas. Las primeras se refieren a evaluar ciertas medidas del comportamiento de sistemas con par´ametros y reglas de
operaci´on completamente especificadas. Los problemas de dise˜
no se refieren a ladeterminaci´on
de par´ametros y reglas de operaci´on que den valores satisfactorios en las medidas de comportamiento.
El modelo b´asico de colas, a partir del que se pueden construir otros m´as complicados,
consta de tres elementos:
1. el proceso de entrada describe las propiedades estad´ısticas de los instantes entre llegadas
de clientes. T´ıpicamente, viene expresado en t´erminos de la distribuci´onentre llegadas.
2. el mecanismo de servicio especifica el n´
umero de servidores y las propiedades estad´ısticas
de los tiempos de servicio.
3. la disciplina de cola describe el comportamiento de los clientes que encuentran todos los
servidores ocupados.
Se ha desarrollado una notaci´on espec´ıfica para describir los sistemas de espera. Se denomina notaci´on de Kendall, en honor a DavidKendall, al cu´al se debe en su mayor parte. Esta
notaci´on es de la forma A/B/c/K/m/Z donde A indica la distribuci´on del tiempo entre llegadas, B la distribuci´on del tiempo de servicio, c el n´
umero de servidores o canales de servicio,
K la capacidad del sistema (m´aximo n´
umero de clientes permitido en el sistema), m el tama˜
no
de la poblaci´on o fuente de clientes, y Z la disciplina dela cola. En ocasiones, se utiliza la
notaci´on abreviada A/B/c, suponi´endose K = ∞, m = ∞ y Z = FIFO (First In, First Out:

el primero en llegar es el primero en ser servido).

La discusi´on habitual en teor´ıa de colas comienza por resultados generales, para discutir
despu´es modelos particulares. Sea N(t) el n´
umero de clientes en el sistema en el instante t;
definamos Pj (t) = P (N(t)= j) como la probabilidad de que el sistema est´e en el estado j en
el instante t. Es particularmente interesante en colas encontrar la distribuci´on en equilibrio
definida por
πj = lim Pj (t)
t→∞

1

De hecho, una parte importante de la teor´ıa de colas estudia el c´alculo de tales probabilidades
y su uso en el c´alculo de medidas de comportamiento.
Los casos m´as sencillos de colascorresponden a aqu´ellos en que las llegadas siguen una
distribuci´on de Poisson y los tiempos de servicio siguen una distribuci´on exponencial. En estos
casos, en la notaci´on de Kendall A = B = M indicando as´ı, que tanto el tiempo entre llegadas
como el tiempo de servicio es exponencial. El estudio de tales sistemas resultar´a relativamente
sencillo si nos apoyamos en los Procesos deNacimiento y Muerte, estudiados en el tema
anterior. Si N(t) representa el n´
umero de individuos en el sistema en el instante t y suponemos
que siempre que hay n individuos en el sistema:
• se producen nuevas llegadas con tasa exponencial λn e
• independientemente, se producen salidas del sistema con tasa exponencial µn ,
un proceso de nacimiento y muerte con tasas de llegada (nacimiento) {λn...