Sistema de Ecuaciones Lineales y Matrices

SITEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES
1.1 INTRODUCCIÓN
Gran parte de la teoría de algebra lineal elemental es una generalización de las propiedades de la línea recta.
Hechos fundamentales sobre las líneas rectas:
I.La pendiente m de una recta que pasa por los puntos (x_1,y_1) y (x_2,y_2) está dada por m=(y_2+y_1)/(x_2+x_1 )=Δy/Δx si x_1≠x_2
II. Si x_2-x_1=0 y y_2≠y_1, entonces la rectaes vertical y se dice que la pendiente es indefinida.
III. Cualquier recta (a excepción de aquella que tiene una pendiente indefinida) se puede describir al escribir su ecuación en la forma pendiente-ordenada y=mx+b , donde m es la pendiente de la recta y b es la ordenada (el valor de y en el punto en el que la recta cruza el eje y).
IV. Dos rectas distintas son paralelas si y sólo si tienen lamisma pendiente.
V. Si la ecuación de la recta se escribe en la forma ax+by=c, (b≠0), entonces se puede calcular fácilmente, m= -alb.
VI. Si m_1 es la pendiente de la recta L_1, m_2 es la pendiente de la recta L_2,m_1≠0 y L_1 y L_2 son perpendiculares, entonces m_2=1⁄m_1 .
VII. Las rectas paralelas al eje x tienen una pendiente cero.
VIII. Las rectas paralelas al eje y tienen una pendienteindefinida.

Relación existente entre resolver sistemas de ecuaciones y encontrar los puntos de intersección entre pares de rectas.

1.2 DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
Considere el siguiente sistema de dos ecuaciones lieales con dos incógnitas x y y:
a11x+a12=b1 (1)
a21x+a22y=b2
donde a11, a12, a21, a22, b1 y b2 son números dados. Cada una de estas ecuaciones corresponde a unalínea recta. Una solución al sistema (1) es un par de números, denotados por (x,y), que satisface (1). Las preguntas que surgen en forma natural son: ¿tiene este sistema varias soluciones y, de ser así, cuántas? Se responderán estas preguntas después de ver algunos ejemplos, en los cuales se usarán dos hechos importantes del álgebra elemental:
Hecho A Si a=byc=d, entonces a+c=b+d.
Hecho B Sia=byc es cualquier número real, entonces ca=cb.
El hecho A establece que si se suman dos ecuaciones se obtiene una tercera ecuación correcta. El hecho B establece que si se multiplican ambos lados de una ecuación por una constante se obtiene una segunta ecuación válida. Se debe suponer que c≠0 ya que aunque la ecuación 0=0 es correcta, no es muy útil.
EJEMPLO 1 Sistema con una solución únicaConsidere el sistema
x-y=7 (2)
x+y=5
Si se suman las dos ecuaciones se tiene, por el hecho A, la siguiente ecuación: 2x=12 (es decir, x=6). Entonces, si se despeja de la segunda ecuación, y=5-x=5-6= entonces y=-1. Así, el par (6, -1) satisface el sistema (2) y la forma en que se encontró la solución muestra que es el único par de números que lo hace. Es decir, el sistema (2) tiene una soluciónúnica.
EJEMPLO 2 Sistema con un número infinito de soluciones
Considere el sistema
x-y=7 (3)
2x-2y=14
Se puede ver que estas dos ecuaciones son equivalentes. Esto es, cualesquiera dos números x y y, que satisfacen la primera ecuación también satisfacen la segunda, y viceversa. Para comprobar esto se multiplica la primera ecuación por 2. Esto está permitido por el hecho B. Entonces x-y=7 oy=x-7. Así el par (x,x-7) es una solución al sistema (3) para cualquier número real x. Es decir, el sistema (3) tiene un número infinito de soluciones. Para este ejemplo, los siguientes pares son soluciones: (7,0), (0,-7), (8,1), (1,-6), (3,-4) y (-2,-9).
EJEMPLO 3 Sistema sin solución
Considere el sistema
x-y=7 (4)
2x-2y=13
Si se multiplica la primera ecuación por 2 (que de nuevo estápermitido por el hecho B) se obtiene 2x-2y=14. Esto contradice la segunda ecuación. Por lo tanto, el sistema (4) no tiene solución.

Figura 1.1 Dos rectas se intersectan en un punto, en ninguno o (si coinciden) en un número infinito de puntos.
Un sistema que no tiene solución se dice que es incosistente.
Geométricamente es fácil explicar lo que sucede en los ejemplos anteriores. Primero, se...