Sistema de ecuaciones lineales y matrices

CAP´ ıTULO 1

Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

Para hacer un desarrollo de esta materia lo m´s autocontenido posible, unicamente presupondremos a ´ conocido: Los conceptos y terminolog´ b´sicos sobre conjuntos (∈, ⊆, ıa a de un n´mero finito de conjuntos, · · · ) u De los conjuntos num´ricos N (n´meros naturales), Z (n´meros enteros), Q (n´meros rae u u u cionales) y R (n´merosreales), las operaciones suma y producto en cada uno de ellos, sus u propiedades b´sicas y la relaci´n usual de orden entre sus elementos. a o , , ∅, ∀, ∃, producto cartesiano

1.

Definici´n de cuerpo o

Comenzaremos por repasar las propiedades que cada uno de los cuatro conjuntos num´ricos indie cados verifican para las operaciones suma y producto. En particular, si A representa cualquiera delos conjuntos N, Z, Q o R, para la suma se verifica: La suma de dos elementos de A es de nuevo un elemento de A, es decir: a+a ∈A ∀ a, a ∈ A

A esta propiedad normalmente nos referimos diciendo que la suma en A es una operaci´n o binaria interna. El orden en que efectuamos la suma de dos elementos, no var´ el resultado, es decir: ıa a+a =a +a ∀ a, a ∈ A

A esta propiedad normalmente nos referimosdiciendo que la suma en A es conmutativa. La suma de tres elementos no var´ con independencia de c´mo los agrupemos para realizarla, ıa o es decir: (a + a ) + a = a + (a + a )
1

∀ a, a , a ∈ A

Sistemas de ecuaciones lineales y matrices A esta propiedad normalmente nos referimos diciendo que la suma en A es asociativa y, como consecuencia de esta propiedad, la suma de estos tres elementosse representar´ simplea mente por a + a + a . En Z, Q y R, as´ como en N cuando se considera al 0 como un n´mero natural, hay un ı u elemento, que es el 0, cuya suma con cualquier otro da este otro como resultado, es decir: ∃0∈A / a+0=a=0+a ∀a∈A

A esta propiedad normalmente nos referimos diciendo que 0 es elemento neutro para la suma en A.

La siguiente propiedad se cumple en Z, en Q y en Rpero no se cumple en N: ∀ a ∈ A , ∃ (−a) ∈ A / a + (−a) = 0 = (−a) + a

es decir, para todo elemento de A existe otro cuya suma con ´l da el neutro de la suma. A esta propiedad e normalmente nos referimos diciendo que todo elemento de A, con A cualquiera de los conjuntos Z, Q o R, tiene opuesto, o sim´trico para la suma, en A. e Igualmente, si A representa a cualquiera de los conjuntos N, Z, Q oR, para el producto se verifica: El producto de dos elementos de A es de nuevo un elemento de A, es decir: a·a ∈A ∀ a, a ∈ A

A esta propiedad normalmente nos referimos diciendo que el producto en A es una operaci´n binaria interna. Normalmente simplificamos la notaci´n y escribimos aa en lugar de o o a·a. El orden en que efectuamos el producto de dos elementos no var´ el resultado, es decir: ıaaa = a a ∀ a, a ∈ A

A esta propiedad normalmente nos referimos diciendo que el producto en A es conmutativo. El producto de tres elementos no var´ con independencia de c´mo los agrupemos para reaıa o lizarlo, es decir: (aa )a = a(a a ) 2 ∀ a, a , a ∈ A

Sistemas de ecuaciones lineales y matrices A esta propiedad normalmente nos referimos diciendo que el producto en A es asociativo y, comoconsecuencia de esta propiedad, el producto de estos tres elementos se representar´ simplemente por aa a . a Hay un elemento, que es el 1, cuyo producto con cualquier otro da este otro como resultado, es decir: ∃1∈A / a1 = a = 1a ∀a∈A

A esta propiedad normalmente nos referimos diciendo que 1 es elemento neutro para el producto en A. El producto, en relaci´n con la suma, verifica las siguientespropiedades: o a(a + a ) = (aa ) + (aa ) y (a + a )a = (a a) + (a a) ∀ a, a , a ∈ A

A estas propiedades normalmente nos referimos diciendo que el producto en A es distributivo por ambos lados respecto a la suma y, para evitar el uso excesivo de par´ntesis, e convenimos en priorizar el producto sobre la suma, de modo que escribimos aa + aa en lugar de (aa ) + (aa ) y a a + a a en lugar de (a a) +...