Sistema Rc

Transformadas de Laplace en resolución de circuitos RLC
Lucas A. Álvarez Lacasa
Estudiante de Ingeniería en Sistemas de Computación
Universidad Nacional del Sur, Avda. Alem 1253, B8000CPB Bahía Blanca, Argentina
lackyalvarez@gmail.com

Julio 2011
Resumen: En el presente artículo se pretende desarrollar cómo las transformadas de Laplace brindan una forma sencilla y práctica
de resolverecuaciones diferenciales lineales. En particular, se analiza la aplicación directa sobre circuitos eléctricos del tipo
RLC, muy comunes y usados en la Física y Matemática.
Palabras clave: ecuaciones diferenciales lineales, transformadas de Laplace, circuitos eléctricos RLC.

I.

INTRODUCCIÓN

En ingeniería frecuentemente se suelen encontrar sistemas cuyas características son modeladas por unconjunto
de ecuaciones diferenciales lineales simultáneas con coeficientes constantes. Si bien hay muchas formas de resolver
los sistemas, en este artículo se adoptará la resolución a partir de transformadas de Laplace. Además, no estará
centrado en encontrar respuesta frente a cualquier tipo de sistema de ecuaciones diferenciales, sino que se verá
aplicado exclusivamente a aquellos que surgenal plantear las ecuaciones en circuitos eléctricos. Dentro de estos, se
hará foco en los del tipo RLC.

II. ECUACIONES DIFERENCIALES
Las palabras ecuaciones y diferenciales hacen pensar en la solución de un sistema de ecuaciones que contenga
derivadas. Así, la idea será resolver ecuaciones como
, en donde se desea conocer la función y.
Este tipo de ecuaciones son muy recurrentes paramodelar sistemas en casi cualquier rama del estudio, desde la
Biología, Química, Economía hasta la Física y la Matemática.
A. Definición
Formalmente, una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una
o más variables independientes es una ecuación diferencial.
B. Clasificación
Es importante hacer una breve clasificación de las ecuaciones diferencialesque se pueden llegar a hacer
presentes. Así, se pueden clasificar según su tipo, orden y linealidad:
Clasificación según el tipo: si una ecuación sólo contiene derivadas de una o más variables dependientes con
respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una ecuación diferencial ordinaria. Una ecuación
que contiene las derivadas de una o más variables dependientes,respecto de dos o más variables independientes se
llama ecuación en derivadas parciales.
Clasificación según el orden: el orden de una ecuación diferencial, ya sea de cualquiera de los dos tipos
mencionados antes, es el de la derivada de mayor orden en la ecuación.
Clasificación según la linealidad o no linealidad: se dice que una ecuación diferencial de la forma
es lineal cuando f es una funciónde y, y’, …,
. Esto significa que una ecuación
es lineal si se puede escribir de la siguiente manera:
(1)
La ecuación (1) permite observar las dos propiedades características de las ecuaciones diferenciales lineales:
i) La variable dependiente y y todas sus derivadas son de primer grado, esto es, la potencia de todo tér mino donde
aparece y es 1. ii) Cada coeficiente depende sólo de lavariable x, es decir, la independiente. De no existir tal
dependencia, se denomina “con coeficientes constantes”.

Es necesario saber distinguir una ecuación diferencial lineal de otra que no lo es, ya que el método de resolución
de sistemas simultáneos de ecuaciones diferenciales a través de transformadas de Laplace se aplica a sistemas con
estas características.

III. CIRCUITOS RLC DE UNA SOLAMALLA
Como se dijo al comienzo del artículo, la idea principal es aplicar transformadas de Laplace para resolver las
ecuaciones diferenciales que puedan llegar a aparecer al plantear el sistema en un circuito de este tipo (lineales y con
coeficientes constantes). Antes de indagar en la forma de resolverlo, es importante detallar brevemente cómo se
compone un circuito RLC.
A. Definición
Un...