Sistemas De Ecuacione Slineales

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
* Definición de ecuación lineal:
Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias, ni multiplicadas entre sí, ni en el denominador.
Por ejemplo, 3x + 2y + 6z = 6 es una ecuación lineal con tres incógnitas.
Como es bien sabido, las ecuaciones lineales con 2incógnitas representan una recta en el plano.
Si la ecuación lineal tiene 3 incógnitas, su representación gráfica es un plano en el espacio.
Un ejemplo de ambas representaciones puede observarse en la figura:

Cualquiera recta (excepto una con pendiente indefinida), se pude describir expresando su ecuación en la forma simplificada
y = mx + b
Donde m es la pendiente de la recta y b es la ordenada alorigen (el valor de y en el punto donde la recta cruza al eje y).

* Sistema de ecuaciones lineales:
Un sistema de ecuaciones lineales consiste en un conjunto de ecuaciones lineales que se resolverán simultáneamente y tiene la forma:

En este caso tenemos m ecuaciones y n incógnitas.
Los números reales aij se denominan coeficientes y los xi se denominan incógnitas (o números a determinar)y bj se denominan términos independientes.
En el caso de que las incógnitas sean 2 se suelen designar simplemente por x e y en vez de x1 y x2, y en el caso de tres, x, y, z en lugar de x1, x2 y x3 pero esto es indiferente a la hora de resolver el sistema.
Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

Resolver el sistema consiste en calcular las incógnitas para que se cumplanTODAS las ecuaciones del sistema simultáneamente. El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2, x3…que satisfacen las ecuaciones.
Diremos que dos sistemas son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.
* Tipos de sistemas de ecuaciones lineales:
Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden presentar. Deacuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:

* Sistema incompatible: si no tiene ninguna solución.
* Sistema compatible: si tiene alguna solución, en este caso además puede distinguirse entre:
* Sistema compatible determinado: cuando tiene una única solución.
* Sistema compatible indeterminado: cuando admite un conjunto infinito de soluciones.
Lossistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por (hiper)planos o rectas que se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un conjunto de (hiper)planos o rectas que se cortan en un único punto. Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que se cortan a lo largo de una recta (o más generalmente un hiperplano de dimensión menor).Desde un punto de vista algebraico los sistemas compatibles determinados se caracterizan porque el determinante de la matriz es diferente de cero:

* Sistemas compatibles indeterminados
Un sistema sobre un cuerpo K es compatible indeterminado cuando posee un número infinito de soluciones. Por ejemplo, el siguiente sistema:

Tanto la primera como la segunda ecuación se corresponden con larecta cuya pendiente es  y que pasa por el punto , por lo que ambas intersecan en todos los puntos de dicha recta. El sistema es compatible por haber solución o intersección entre las rectas, pero es indeterminado al ocurrir esto en infinitos puntos.
* En este tipo de sistemas, la solución genérica consiste en expresar una o más variables como función matemática del resto. En los sistemaslineales compatibles indeterminados, al menos una de sus ecuaciones se puede hallar como combinación lineal del resto, es decir, es linealmente dependiente.
* Una condición necesaria para que un sistema sea compatible indeterminado es que el determinante de la matriz del sistema sea cero (y por tanto uno de sus autovalores será 0):

De hecho, de las dos condiciones anteriores se desprende, que...