sistemas de ecuaciones

Sistemas de ecuaciones y determinantes
Lunes, 31 de mayo de 2010 a las 16:30
Los sistemas de ecuaciones lineales representan una algebrización de la llamada Geometría Lineal (de rectas y planos) en la que los determinantes son la herramienta fundamental.
Dos planteamientos sencillos
Supongamos que se nos plantea el siguiente problema: Tengo dos hijos pequeños cuyas edades suman cuatro años yla diferencia entre el mayor y el pequeño es de dos años. ¿Qué edad tiene cada uno de mis hijos?

Se trata de un enunciado muy sencillo y podríamos resolverlo a ojo, pero ante la eventualidad de enunciados más complicados, lo mejor es acostumbrarse a plantear este tipo de problemas mediante ecuaciones. Si llamamos x a la edad del pequeño de los hermanos e y a la del otro tendremos que:
Laedades suman cuatro años: x + y = 4
Restando las edades el resultado es dos: y – x = 2
Lo que nos lleva a considerar lo que se llama un sistema de ecuaciones que, en este caso, es de dos ecuaciones con dos incógnitas:

Una manera posible de resolver este sistema es despejar la x en la primera ecuación:
x = y – 2
Y sustituir el resultado en la segunda:
y – 2 + y = 4
2y = 6
y = 6/2 = 3
Coneste valor de y volvemos a la primera ecuación y obtenemos el valor de x:
x – 3 = -2
x = -2 + 3 = 1

De manera que el pequeño tiene un año y el mayor tiene tres. Para resolver este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas hemos empleado un método que recibe el nombre de método de sustitución.
Veamos ahora otro problema, pero esta vez de geometría: Encontrar el punto de coordenadas del planoen el cual se cortan las rectas y = x + 2 e y = -x + 4.

También podemos intentar resolverlo a ojo utilizando un papel milimetrado para dibujar las rectas y localizar el punto en el que se cortan. Esto nos llevaría a determinar el punto (1, 3) de intersección de ambas rectas. Si no lo queremos resolver gráficamente (algo que la mayoría de las veces no es posible) siempre podemos plantear unsistema de ecuaciones, que será el que definen las dos rectas. Al fin y al cabo lo que buscamos es un punto (x, y) del plano que esté en las dos rectas a la vez y que, por tanto, verifique simultáneamente las dos ecuaciones:

Vemos que son las mismas que aparecían en el problema anterior.
Sistemas lineales
Un sistema de ecuaciones está formado por un conjunto de ecuaciones, es decir por una seriede igualdades en las que hay números y letras. Las letras son incógnitas cuyo valor debemos determinar. De entre todos los sistemas de ecuaciones posibles hay unos muy especiales que reciben el nombre de sistemas lineales y que son aquellos en los que las incógnitas no están elevadas a ningún exponente cuyo valor sea superior a 1. Por ejemplo, el siguiente sistema no es lineal:

Pero sí lo es elque se muestra a continuación:

En general un sistema lineal puede estar formado por un número cualquiera de incógnitas y un número cualquiera de ecuaciones. Se hace referencia entonces a un sistema lineal de m ecuaciones con n incógnitas. En el ejemplo del comienzo hemos resuelto un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

Hicimos entonces dos versiones diferentes de un mismo problema.La primera tenía un carácter aritmético y la segunda geométrico. Esto es algo que siempre se puede hacer con los sistemas lineales, en el sentido de que sea cual sea el planteamiento siempre es posible llevarlo al terreno de la geometría de rectas y planos. Los sistemas con dos incógnitas nos hablaran de rectas en el plano y los sistemas en los que aparezcan tres incógnitas de planos en elespacio. Una ecuación del tipo Ax + By + Cz = D es la ecuación de un plano. Esto significa que un sistema, como por ejemplo:

Representa la ecuación de dos planos, pero en muchos casos, también puede interpretarse como la ecuación de una recta de intersección de ambos planos.
Clasificación de sistemas lineales
Un sistema de ecuaciones lineales no tiene porqué tener siempre solución. Por ejemplo,...