SISTEMAS DE ECUACIONES

Métodos Numéricos Solución de Sistemas de Ecuaciones No Lineales.

Tema 4
4.

4.1.

Solución de Sistemas
Ecuaciones No Lineales

de

Introducción
En la práctica de la ingeniería y ciencias se tiene la necesidad de resolver un sistema de
ecuaciones no lineales. En temas pasados se vio la solución de ecuaciones no lineales. La
solución de sistemas de ecuaciones no linealesesencialmente consistirá en extender los
métodos de solución de una sola ecuación no lineal a sistemas de ecuaciones no lineales. Pero
como se vera esto no es sencillo.

4.2.

Conceptos Básicos
Un sistema de ecuaciones no lineales es de la forma

f1 (x1 , x2 , x3 ,• • •, xn ) = 0

f 2 (x1 , x2 , x3 ,• • •, xn ) = 0
f 3 (x1 , x2 , x3 ,• • •, xn ) = 0
•
•
•

f n (x1 , x2 , x3 ,• • •, xn ) =0

ó en forma mas compacta

F (X ) = 0
donde
F: vector de funciones.
X: vector solución.
0: vector de términos nulos (0).

Página

4-1

Métodos Numéricos. Curso SAI. 24/7/a 21:05:05 © Hugo Pablo Leyva

4.3.

Métodos de Solución
Los métodos de solución de un sistema de ecuaciones no lineales se clasifican en:
1. Método Gráfico.
2. Métodos Directos.
3. Métodos Iterativos.4.4.

Método gráfico
El método gráfico consiste en trazar la gráfica de cada ecuación del sistema y hallar los puntos
de corte, los cuales son la solución. La desventaja de este método es que no es muy preciso, y
sólo es aplicable cuando tenemos 2 ó a lo mucho 3 ecuaciones. Además considerando que son
ecuaciones no lineales, las graficas puede ser que no sean fáciles de construir.

4.5.Métodos directos
Los métodos directos son aquellos que determinan la solución en un numero determinado de
pasos.
Estos métodos no son los más usuales pero cuando sea posible son los más recomendables, por
que nos dan la solución analítica, es decir, la solución teórica del problema. Salvo raros casos
estos métodos no son siempre aplicables, ya que dependen que el sistema permita el despeje ysimplificación del mismo mediante operaciones algebraicas.

4.6.

Métodos iterativos
Si bien los métodos directos dan la solución teórica, no siempre se pueden aplicar.
Los métodos iterativos son aquellos que obtienen la solución aproximándose a ella en un
numero finito, pero no definido de pasos.
Estos métodos son propiamente métodos numéricos, los cuales como ya vimos obtienen lasolución mediante una sucesión que se aproxima a la solución del problema. En este caso los
métodos iterativos obtienen una sucesión de vectores que se aproxima a la solución del sistema.
Como ya mencionamos anteriormente en los temas pasados, los métodos numéricos requieren
de un criterio de convergencia para determinar cuando parar. El criterio de convergencia
basado en el error relativo, como yase comentó es muy útil. También por lo que se comento en
el tema de solución de ecuaciones lineales mediante métodos iterativos el criterio de
convergencia será:

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Métodos Numéricos Curso SAI Tema 4. Solución de Sistemas de Ecuaciones No Lineales.

cc

k

X

=

k +1

−

X

X

k +1

k
∞

− ( NCS +1)

≤ 5•10

∞

donde

||X||∞ = max | x i | Es una normavectorial natural.
1≤ i ≤ n

k: índice de la iteración, no la confundas con una potencia, solo es él numero de iteración.
Xk+1 : Vector de la iteración k+1.
Xk : Vector de la iteración k.
NCS: Numero de cifras significativas deseadas.
También se pide que:

f

(X )

− ( NCS +1)

k +1

∞

≤ 5•10

y por seguridad además

k > max iter
En general es difícil aplicar un métodonumérico en este caso, ya que no se tiene un teorema
como el de cambio de signo para hallar por donde esta la solución. Esto es por que es difícil
extender e interpretar el teorema de cambio de signo a sistemas de n ecuaciones no lineales.
Por lo anterior los métodos basados en cambio de signo como bisección y regula falsi NO se
pueden extender a sistemas de ecuaciones no lineales con facilidad....