Sistemas de Ecuaciones

Sistemas de Ecuaciones

Se llama así a un conjunto de dos o más ecuaciones cada una con un mismo juego de incógnitas.
En esta clase estudiaremos como resolver sistemas de ecuaciones con dos incógnitas.
A continuación presentamos un ejemplo de estos sistemas:

Resolver este sistema implica calcular los valores de y que satisfagan ambas ecuaciones. Una solución es , , porque alreemplazar estos valores en las ecuaciones (1) y (2) estas se cumplen o se satisface.
Así; Reemplazando en (1): , se cumple la igualdad; y
Reemplazando en (2): , también se cumple la igualdad.
La solución se escribe como el par ordenado .

Para resolver un sistema de ecuaciones se emplea el método se de sustitución o el de eliminación.
A continuación se describen estos dos métodos.

Método deSustitución
Pasos:
1. Despejar una de las variables de una de las ecuaciones para que quede en función de la otra.
2. Sustituir la ecuación que se obtuvo en el paso 1, en la otra ecuación; obteniéndose así una ecuaciones una sola variable.
3. Determinar las soluciones de la ecuación obtenida en el paso 2.
4. Sustituir los valores determinados en el paso 3 en la ecuación que se obtuvo en elpaso 1 y se despeja la otra variable.
5. Comprobar cada par que se obtiene en le paso 4, en el sistema dado.

Ejemplo 1. Uso del método de sustitución,
Calcular las soluciones de los siguientes sistemas:
, , .







Método de eliminación
Pasos:
1. Se multiplica una o las dos ecuaciones por números adecuados para que el coeficiente de una de las variables en una de las ecuaciones seael opuesto del coeficiente correspondiente a la otra.
2. Se sumas las dos ecuaciones para eliminar una de las variables y a continuación se despeja la variable que queda.
3. Se sustituye el o los valores determinados en el paso 2 en una de las ecuaciones originales y se despeja la otra variable.
4. Comprobar que los pares obtenidos en el paso anterior satisfacen el sistema dado.

Ejemplo 2.Aplicación del método de eliminación
Determine las soluciones de los siguientes sistemas:
,









A menudo se emplean las ecuaciones o los sistemas de ecuaciones para resolver problemas de aplicación, es decir, problemas en los que las matemáticas se aplican en otros campos. Debido a la variedad ilimitada de tales problemas, es difícil enunciar reglas específicas para obtenersoluciones. Las siguientes reglas pueden ser útiles, siempre que el problema pueda formularse en términos de una ecuación o en términos de un sistema de ecuaciones.

Regla para resolver problemas aplicados

a. Lea el problema con cuidado varias veces y rescate las cantidades conocidas y las desconocidas que se debe calcular.
b. Elija una letra para representar a las cantidades desconocidas. Es unode los pasos cruciales en la solución. Las frases con palabras como que, hallar, cuanto, hasta, donde o cuando, le deben advertir acerca de cual es la cantidad desconocida.
c. Si es el caso trace un grafico.
d. Exprese los datos del problema en términos de una ecuación o de un sistema de ecuaciones.
e. Resuelva la ecuación o el SEL.
f. Compruebe las soluciones obtenidas.
g. Responda a lasinterrogantes del problema.
Ejemplo 3. Aplicación de los sistemas de ecuaciones
El área de un triangulo rectángulo es de 120 , y su perímetro de 60 . Calcular las longitudes de sus lados.







Sistema de Ecuaciones Lineales con dos variables

La ecuación , es una ecuación lineal en dos variables y , con y diferentes de cero. Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables(incógnitas) tiene la forma:


Ejemplo 4. Sistemas lineales que tienen solución única, infinitas soluciones o que no tienen soluciones
Resolver los siguientes sistemas: , ,


Los tres ejemplos anteriores muestran situaciones características que se presentan al resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas: hay exactamente una solución, o bien, hay un número infinito...