Sistemas De Ecuaciones
Páginas: 5 (1151 palabras)
Publicado: 10 de febrero de 2013
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
* En la sección anterior estudiamos que la gráfica de una ecuación como 2x + y = 8 (o y = - 2x + 8) es una LÍNEA RECTA. Por esta razón, a las ecuaciones de la forma ax + by = c o y = mx + n, donde a, b, c, m y n son números reales se les llama ECUACIONES LINEALES.
* En el caso de 2x + y - 8, decimos que la pareja ordenada (5,-2) es solución de esta ecuaciónya que: 2 (5) + (- 2) = 10 - 2 = 8; es decir, al reemplazar x por 5 y y por - 2, en la ecuación, verificamos que la igualdad se cumple.
* Otras parejas ordenadas que son solución de esta ecuación son: (3, 2), (2, 4) y (4, 0). ¿Sabes cómo se obtienen estas parejas ordenadas?
Una ecuación de la forma ax + by + c = 0, en la cual a, b y c son números reales, tales que a y b no seansimultáneamente iguales a 0, se denomina ECUACION LINEAL o DE PRIMER GRADO. Esta ecuación también se puede escribir en la forma y = mx + n.
La gráfica de una ecuación lineal es una LÍNEA RECTA.
Una pareja ordenada (x, y) es SOLUCION de una ecuación lineal si al reemplazar x por x, e y por y, en la ecuación, podemos verificar que la igualdad se cumple.
* En muchos problemas donde intervienenecuaciones es necesario encontrar la solución de más de una incógnita. Por esta razón, se requiere resolver, al mismo tiempo, varias ecuaciones en las que aparecen las incógnitas que estamos buscando.
El siguiente problema, atribuido al matemático griego Euclides, nos ilustra lo que acabamos de afirmar:
Un caballo y un burro caminaban juntos llevando sobre sus lomos pesados sacos. Lamentábase eljamelgo de su enojosa carga, a lo que el burro repuso: "¿De qué te quejas? Si yo te tomara un saco, mi carga sería el doble de la tuya; en cambio, si te doy un saco, tu carga se igualará a la mía".
Decidme, doctos matemáticos, ¿cuántos sacos llevaba el caballo y cuántos el burro?
Para resolver el problema podemos proceder así:
* Llamemos x el número de sacos que lleva el caballo y y elnúmero de sacos que lleva el burro.
* Si el burro tomara un saco del caballo, entonces el burro quedaría con y + 1 sacos y el caballo: con x - 1. En estas condiciones, la carga del burro sería el doble de la del caballo por lo tanto:
y + 1 = 2 (x - 1) (1)
Si, en cambio, el burro le da un saco al caballo, entonces el burro quedaría con y - 1 sacos, el caballo con x + 1 y ambos tendrían la mismacarga; es decir:
y - 1 = x + 1 (2)
De esta manera, para resolver el problema, debemos resolver un SISTEMA DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS:
El objetivo de esta unidad es resolver sistemas de ecuaciones lineales como el anterior.
Un SISTEMA DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS x e y es el conjunto:
ax + by = c mx + ny = p
Donde a y b no son simultáneamente iguales a0 y m y n tampoco son simultáneamente iguales a 0
EJEMPLO 1 Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas:
* Contesta: ¿Habrá alguna pareja ordenada que sea solución para las dos ecuaciones del sistema? Para contestar la pregunta dibuja las gráficas de ambas ecuaciones en el mismo diagrama cartesiano. Por comodidad, despeja la y de cada ecuación.
* Comparatu trabajo con lo que aparece a continuación
X | -1 | 2 |
y=x3+43 | 1 | 2 |
X | 0 | - 1 |
y = 4x + 5 | 5 | 1 |
* Observa: El punto correspondiente a la pareja ordenada (-1, 1) es común a ambas rectas; es decir, x = - 1 e y = 1 verifican simultáneamente las dos ecuaciones.
* Conclusión: x = - 1 e y = 1 es la solución del sistema de ecuaciones:
Una pareja ordenada (a, b) esSOLUCION de un sistema de dos ecuaciones de primer grado con 2os incógnitas cuando sus coordenadas satisfacen las dos ecuaciones o, equivalentemente, cuando el punto correspondiente es la intersección de las gráficas de las dos líneas rectas.
EJEMPLO 2 Dibujemos en un diagrama cartesiano los siguientes sistemas de ecuaciones lineales y encontremos, si existe, la solución de cada uno de...
* En la sección anterior estudiamos que la gráfica de una ecuación como 2x + y = 8 (o y = - 2x + 8) es una LÍNEA RECTA. Por esta razón, a las ecuaciones de la forma ax + by = c o y = mx + n, donde a, b, c, m y n son números reales se les llama ECUACIONES LINEALES.
* En el caso de 2x + y - 8, decimos que la pareja ordenada (5,-2) es solución de esta ecuaciónya que: 2 (5) + (- 2) = 10 - 2 = 8; es decir, al reemplazar x por 5 y y por - 2, en la ecuación, verificamos que la igualdad se cumple.
* Otras parejas ordenadas que son solución de esta ecuación son: (3, 2), (2, 4) y (4, 0). ¿Sabes cómo se obtienen estas parejas ordenadas?
Una ecuación de la forma ax + by + c = 0, en la cual a, b y c son números reales, tales que a y b no seansimultáneamente iguales a 0, se denomina ECUACION LINEAL o DE PRIMER GRADO. Esta ecuación también se puede escribir en la forma y = mx + n.
La gráfica de una ecuación lineal es una LÍNEA RECTA.
Una pareja ordenada (x, y) es SOLUCION de una ecuación lineal si al reemplazar x por x, e y por y, en la ecuación, podemos verificar que la igualdad se cumple.
* En muchos problemas donde intervienenecuaciones es necesario encontrar la solución de más de una incógnita. Por esta razón, se requiere resolver, al mismo tiempo, varias ecuaciones en las que aparecen las incógnitas que estamos buscando.
El siguiente problema, atribuido al matemático griego Euclides, nos ilustra lo que acabamos de afirmar:
Un caballo y un burro caminaban juntos llevando sobre sus lomos pesados sacos. Lamentábase eljamelgo de su enojosa carga, a lo que el burro repuso: "¿De qué te quejas? Si yo te tomara un saco, mi carga sería el doble de la tuya; en cambio, si te doy un saco, tu carga se igualará a la mía".
Decidme, doctos matemáticos, ¿cuántos sacos llevaba el caballo y cuántos el burro?
Para resolver el problema podemos proceder así:
* Llamemos x el número de sacos que lleva el caballo y y elnúmero de sacos que lleva el burro.
* Si el burro tomara un saco del caballo, entonces el burro quedaría con y + 1 sacos y el caballo: con x - 1. En estas condiciones, la carga del burro sería el doble de la del caballo por lo tanto:
y + 1 = 2 (x - 1) (1)
Si, en cambio, el burro le da un saco al caballo, entonces el burro quedaría con y - 1 sacos, el caballo con x + 1 y ambos tendrían la mismacarga; es decir:
y - 1 = x + 1 (2)
De esta manera, para resolver el problema, debemos resolver un SISTEMA DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS:
El objetivo de esta unidad es resolver sistemas de ecuaciones lineales como el anterior.
Un SISTEMA DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS x e y es el conjunto:
ax + by = c mx + ny = p
Donde a y b no son simultáneamente iguales a0 y m y n tampoco son simultáneamente iguales a 0
EJEMPLO 1 Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas:
* Contesta: ¿Habrá alguna pareja ordenada que sea solución para las dos ecuaciones del sistema? Para contestar la pregunta dibuja las gráficas de ambas ecuaciones en el mismo diagrama cartesiano. Por comodidad, despeja la y de cada ecuación.
* Comparatu trabajo con lo que aparece a continuación
X | -1 | 2 |
y=x3+43 | 1 | 2 |
X | 0 | - 1 |
y = 4x + 5 | 5 | 1 |
* Observa: El punto correspondiente a la pareja ordenada (-1, 1) es común a ambas rectas; es decir, x = - 1 e y = 1 verifican simultáneamente las dos ecuaciones.
* Conclusión: x = - 1 e y = 1 es la solución del sistema de ecuaciones:
Una pareja ordenada (a, b) esSOLUCION de un sistema de dos ecuaciones de primer grado con 2os incógnitas cuando sus coordenadas satisfacen las dos ecuaciones o, equivalentemente, cuando el punto correspondiente es la intersección de las gráficas de las dos líneas rectas.
EJEMPLO 2 Dibujemos en un diagrama cartesiano los siguientes sistemas de ecuaciones lineales y encontremos, si existe, la solución de cada uno de...
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