Sistemas de ecuaciones


Sistema de ecuaciones lineales con dos variables

METODO DE ELIMINACION
El método de eliminación para resolver sistemas de ecuaciones lineales usa la propiedad de la igualdad de la suma. Puedes sumar el mismo valor a cada lado de la ecuación.
 
Entonces si tienes un sistema: x – 6 = −6 y x + y = 8, puedes sumar x + y al lado izquierdo de la primera ecuación y suma 8 a la derecha de laecuación. Y como x + y = 8, estas sumando el mismo valor a cada lado de la primera ecuación.
 
Usando la suma para eliminar una variable
Si sumas las dos ecuaciones, x – y = −6 y x + y = 8 como explicamos arriba, observa lo que pasa.
 

 
Has eliminado el término y y esta ecuación puede resolverse usando los métodos para resolver ecuaciones con una variable.
 
Veamos cómo se resuelve este sistema usandoel método de eliminación.
 
 
Ejemplo
Problema
Usa eliminación para resolver el sistema.
   x – y = −6
x + y = 8
 
 

Suma las ecuaciones.
 
2x = 2
x = 1
Resuelve x.
 
x + y = 8
1 + y = 8
y = 8 – 1
y = 7
Sustituye x = 1 en una de las ecuaciones originales y resuelve y.
 
x – y = −6
1 – 7 = −6
−6 = −6
 
VÁLIDO
x + y = 8
1 + 7 = 8
8 = 8
 
VÁLIDO
¡Asegúrate de comprobar tu respuesta en ambasecuaciones!
 
 
Los resultados son correctos.
Respuesta
La solución es (1, 7).
 





 
 
Desafortunadamente no todos los sistemas resultan tan fáciles. Por ejemplo, un sistema como 2x + y = 12 y −3x + y = 2. Si usamos estas ecuaciones, no se elimina ninguna variable.
 

 
Pero quieres eliminar una variable. Por lo que sumas el opuesto de una de las ecuaciones con la otra ecuación.
 
 2x + y =12     →        2x + y = 12      →       2x + y = 12
           −3x + y = 2      →      − (−3x + y) = −(2)   →  3x – y = −2
                                                                                    5x + 0y = 10
 
Has eliminado la variable y, y ahora el problema puede resolverse. Veamos el ejemplo siguiente.
 
 
Ejemplo
Problema
Usa eliminación para resolver el sistema.
2x + y = 12                                −3x + y =  2
 
 
2x + y = 12
            −3x + y =  2
Puedes eliminar la variable y si sumas el opuesto de una de las ecuaciones a la otra ecuación.
 
 2x + y = 12
            3x – y =  −2
5x = 10
Reescribe la segunda ecuación como su opuesto.
Suma.
 
x = 2
Resuelve x.
 
2(2) + y = 12
4 + y = 12
y = 8
Sustituye y = 2 en una de las ecuaciones originales y resuelve y.
 
2x + y = 12
2(2) + 8 = 12
4 + 8 = 1212 = 12
 
            VÁLIDO
−3x + y =  2
−3(2) + 8 = 2
−6 + 8 = 2
2 = 2
 
VÁLIDO
¡Asegúrate de comprobar tu respuesta en ambas ecuaciones!
 
 
 
Los resultados son correctos.
Respuesta
La solución es (2, 8).
 





 
 
Los siguientes son dos ejemplos mostrando cómo resolver un sistema lineal de ecuaciones usando eliminación.
 
 
Ejemplo
Problema
Usa eliminación para resolver el sistema.
−2x  +3y = −1
   2x  + 5y = 25
 
 
 
−2x
+
3y
=
−1
 
 
 
2x
+
5y
=
25
 

Observa los coeficientes de cada variable en la ecuación. Si sumas estas dos ecuaciones, el término x será eliminado porque −2x + 2x = 0.
 
 
 
−2x
+
3y
=
−1
 
 
 
2x
+
5y
=
25
 
 
 
 
 
8y
=
24
 
 
 
 
 
y
=
3
 

Suma y resuelve y.
 
2x + 5y = 25
2x + 5(3) = 25
2x + 15 = 25
2x = 10
x = 5
Sustituye y = 3 en una de las ecuacionesoriginales.
 
−2x + 3y = −1
−2(5) + 3(3) = −1
−10 + 9 = −1
−1 = −1
 
VÁLIDO
2x + 5y = 25
2(5) + 5(3) = 25
10 + 15 = 25
25 = 25
 
VÁLIDO
Comprueba las soluciones.
 
 
 
 
Los resultados son correctos.
Respuesta
La solución es (5, 3).
 




 
 
Ejemplo
Problema
Usa eliminación para resolver x y y.
4x  + 2y = 14
5x  + 2y = 16
 
 
 
 
4x
+
2y
=
14
 
 
 
5x
+
2y
=
16
 

Observa los coeficientes de cadavariable en cada ecuación. Necesitarás sumar el opuesto de una de las ecuaciones para eliminar la variable y, porque 2y + 2y = 4y, pero
2y + (−2y) = 0.
 
4x
+
2y
=
14
 
−5x
–
2y
=
−16
 
−x
 
 
=
−2
 
 
 
x
=
2
 
 






Cambia una de las ecuaciones por su opuesto, suma y resuelve x.
 
 
4x + 2y = 14
4(2) + 2y = 14
8 + 2y = 14
2y = 6
y = 3
Sustituye x = 2 en una de las...