Sistemas dinamicos

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Sistemas Dinámicos
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Luis Pernett Rojas |

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Sistema Dinámico
Abstract
Un sistema dinámico es un par X,φ´ donde X es un espacio de estado y φ´:X→X es una familia de operadores deevolución que satisface (OE1) y (OE2)

Concepto
Un sistema dinámico es, según Kuznetsov, la representación matemática de un proceso determinístico [Kuznetsov, 1995]. Si se conoce la ley que gobiernasu evolución y su estado inicial, se puede predecir cualquier estado futuro del sistema. Todos los posibles estados del sistema se pueden representar por puntos en algún conjunto X llamado espacio deestados de esta forma:

X = {x : x es un estado del sistema dinámico}

Se dice que X es un espacio métrico si se define una distancia ρ entre dos estados x, y X. En la mayoría de las aplicacionespara ingeniería, el espacio de estados es un espacio de vectores reales de dimensión o es un hiperplano (o variedad) en este espacio. En este caso, para medir la distancia entre estados se puedeutilizar la norma euclidiana:

Donde es el producto escalar en

La evolución del sistema dinámico supone un cambio de estado en un tiempo t T, donde T es un conjunto ordenado. Dependiendo dela naturaleza de T, se pueden clasificar los sistemas dinámicos en dos grupos:

• Sistemas dinámicos de tiempo continuo, si T = R
• Sistemas dinámicos de tiempo discreto, si T = Z

La ley deevolución que determina el estado del sistema en un tiempo t, a partir de un estadio inicial conocido, se puede definir en forma general así:

En el caso de los sistemas dinámicos continuos, la familiade se llama flujo. El operador de evolución cumple las siguientes dos propiedades:

Donde id es la transformada identidad en X.

Esto significa que el sistema no cambia de estado“espontáneamente.” La segunda propiedad es:

Esta propiedad significa que la ley no varía con el tiempo, es decir, el sistema es
“autónomo.”

Los sistemas dinámicos discretos – con t entero – se definen...
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