Sistemas indeterminados
Páginas: 14 (3339 palabras)
Publicado: 3 de abril de 2011
SISTEMAS INDETERMINADOS
Un sistema indeterminado de ecuaciones lineales es aquél que admite infinitos vectores solución. El teorema de Rouché-Frobenius establece que un sistema lineal es indeterminado si, y sólo si, el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada con los términos independientes, y menor que la cantidad de incógnitas. Esta situación generalmenteocurre cuando el sistema tiene más incógnitas (parámetros) que ecuaciones (datos). Sin embargo, sistemas que teóricamente son determinados, pueden considerarse indeterminados desde el punto de vista numérico, cuando poseen una matriz de coeficientes mal condicionada, con determinante próximo a cero. En tal caso, diferentes vectores pueden satisfacer las ecuaciones dentro de los márgenes de precisiónadmitidos en los cálculos, o en otras palabras, el rango de la matriz del sistema es, en la práctica, varios órdenes menor al que pudiera hallarse teóricamente.
Los sistemas indeterminados aparecen en aplicaciones estadísticas, físicas y geofísicas, y caracterizan a aquellos problemas donde la información de que se dispone para resolverlos es incompleta. Esto lleva a elegir, entre las infinitassoluciones posibles, alguna que se considere más representativa, de acuerdo a un determinado criterio. En una primera aproximación, se podría pensar en fijar los valores de algunas incógnitas, de manera de reducir su cantidad para que el sistema resulte determinado; sin embargo, no siempre se dispone de la certidumbre necesaria para fijar inicialmente tales valores. De aquí la necesidad de emplearcriterios más amplios, no ya fijando valores de alguna incógnita en particular, sino incorporando lo que en términos de la estadística Bayesiana se conoce como información "a priori" (Sacchi y Ulrych, 1996; Scales y Sneider, 1997). De las infinitas soluciones posibles, elegir aquella que posea alguna propiedad característica: ser la más suave, o la más concentrada, o la que menos diste de algúnmodelo inicial, etc. Como técnica estadística, esto equivale a condicionar de alguna manera la varianza de la distribución de parámetros, y conduce en definitiva a la resolución de sistemas de ecuaciones no lineales, que puede encarase iterativamente.
Métodos para resolver sistemas indeterminados
* Medida del grado de dispersión de las componentes de un vector
Consideremos un vector columnade m componentes reales
X= X1X2Xm
Se trata de definir alguna función real de las componentes del vector que permita cuantificar el grado de dispersión de dichas componentes, o en otras palabras, determinar en qué medida el vector es ralo. En la literatura, tales funciones se denominan "normas", aunque de hecho no verifican todas las propiedades que caracterizan a una norma, por ejemplo la dehomogeneidad (Conte y De Boor, 1972).
En primer lugar se tienes la norma D (Cabrelli, 1984; Wang et al., 1991), definida como el cociente entre el máximo valor absoluto de las componentes y el módulo del vector:
Esta norma toma valores próximos a 1 cuando hay una componente que predomina sobre las demás. Maximizar D (x) (o minimizar 1-D (x)) es un posible camino de búsqueda de soluciones conpico en una sola componente, aunque las demás no tomen valores totalmente próximos a cero. Un criterio similar lo provee la norma varimax (Wiggins, 1978):
La norma de mínimo volumen (Last y Kubik, 1983; Portniaguine y Zhdanov, 1999) es, en cambio, extremadamente severa. Consiste en contar cuántas componentes del vector son distintas de cero, lo que analíticamente se puede expresar así:sea e>0 un número pequeño, del orden de la precisión de la máquina. Entonces
De aquí, la definición de la norma:
Como criterio intermedio está la norma de Cauchy (Amundsen, 1991), de la cual hacen abundante uso Sacchi y Ulrych (1996) y Sacchi et al. (1998), con el objeto de resolver problemas de procesamiento de señales. Estos autores buscan estimar una transformada de Fourier discreta de...
Un sistema indeterminado de ecuaciones lineales es aquél que admite infinitos vectores solución. El teorema de Rouché-Frobenius establece que un sistema lineal es indeterminado si, y sólo si, el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada con los términos independientes, y menor que la cantidad de incógnitas. Esta situación generalmenteocurre cuando el sistema tiene más incógnitas (parámetros) que ecuaciones (datos). Sin embargo, sistemas que teóricamente son determinados, pueden considerarse indeterminados desde el punto de vista numérico, cuando poseen una matriz de coeficientes mal condicionada, con determinante próximo a cero. En tal caso, diferentes vectores pueden satisfacer las ecuaciones dentro de los márgenes de precisiónadmitidos en los cálculos, o en otras palabras, el rango de la matriz del sistema es, en la práctica, varios órdenes menor al que pudiera hallarse teóricamente.
Los sistemas indeterminados aparecen en aplicaciones estadísticas, físicas y geofísicas, y caracterizan a aquellos problemas donde la información de que se dispone para resolverlos es incompleta. Esto lleva a elegir, entre las infinitassoluciones posibles, alguna que se considere más representativa, de acuerdo a un determinado criterio. En una primera aproximación, se podría pensar en fijar los valores de algunas incógnitas, de manera de reducir su cantidad para que el sistema resulte determinado; sin embargo, no siempre se dispone de la certidumbre necesaria para fijar inicialmente tales valores. De aquí la necesidad de emplearcriterios más amplios, no ya fijando valores de alguna incógnita en particular, sino incorporando lo que en términos de la estadística Bayesiana se conoce como información "a priori" (Sacchi y Ulrych, 1996; Scales y Sneider, 1997). De las infinitas soluciones posibles, elegir aquella que posea alguna propiedad característica: ser la más suave, o la más concentrada, o la que menos diste de algúnmodelo inicial, etc. Como técnica estadística, esto equivale a condicionar de alguna manera la varianza de la distribución de parámetros, y conduce en definitiva a la resolución de sistemas de ecuaciones no lineales, que puede encarase iterativamente.
Métodos para resolver sistemas indeterminados
* Medida del grado de dispersión de las componentes de un vector
Consideremos un vector columnade m componentes reales
X= X1X2Xm
Se trata de definir alguna función real de las componentes del vector que permita cuantificar el grado de dispersión de dichas componentes, o en otras palabras, determinar en qué medida el vector es ralo. En la literatura, tales funciones se denominan "normas", aunque de hecho no verifican todas las propiedades que caracterizan a una norma, por ejemplo la dehomogeneidad (Conte y De Boor, 1972).
En primer lugar se tienes la norma D (Cabrelli, 1984; Wang et al., 1991), definida como el cociente entre el máximo valor absoluto de las componentes y el módulo del vector:
Esta norma toma valores próximos a 1 cuando hay una componente que predomina sobre las demás. Maximizar D (x) (o minimizar 1-D (x)) es un posible camino de búsqueda de soluciones conpico en una sola componente, aunque las demás no tomen valores totalmente próximos a cero. Un criterio similar lo provee la norma varimax (Wiggins, 1978):
La norma de mínimo volumen (Last y Kubik, 1983; Portniaguine y Zhdanov, 1999) es, en cambio, extremadamente severa. Consiste en contar cuántas componentes del vector son distintas de cero, lo que analíticamente se puede expresar así:sea e>0 un número pequeño, del orden de la precisión de la máquina. Entonces
De aquí, la definición de la norma:
Como criterio intermedio está la norma de Cauchy (Amundsen, 1991), de la cual hacen abundante uso Sacchi y Ulrych (1996) y Sacchi et al. (1998), con el objeto de resolver problemas de procesamiento de señales. Estos autores buscan estimar una transformada de Fourier discreta de...
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