Estabilidad indeterminada

Sistemas de equilibrio estáticamente indeterminado.

Tanto las vigas como las armaduras representan las primeras estructuras en las cuales se determinan los valores de las fuerzas de reacción necesarias para que la suma total sea cero.
Es decir, para que la estructura esté en equilibrio. El requisito indispensable para poderlas analizar es que sean isostáticas, es decir, que sólo tengan lasreacciones o apoyos necesarios para que sean estables. Aquí, se considera una estructura estable aquella que tiene tantos apoyos y dispuestos en forma tal que impidan movimientos de cuerpo rígido. Considérese por ejemplo una viga simple sujeta a cualquier sistema de carga (Fig. 1):

El apoyo fijo en el extremo izquierdo ofrece dos direcciones de soporte, mientras que el apoyo del extremo derechoofrece solamente una. A cada extremo se le nominará como nudo 1 y 2 respectivamente. Las reacciones que sostienen a la viga son las que se indican en la figura 2.
De acuerdo a un sistema coplanario general, se disponen de tres ecuaciones de equilibrio. Estas son ΣFx = 0, ΣFy = 0 y ΣMz = 0. Debido a que se tienen igualmente tres reacciones desconocidas, Rx1, Ry1, Ry2, la estructura se diceisostática. Es decir, el número de reacciones debidas a los apoyos es igual al número de ecuaciones disponibles para establecer su equilibrio.

Si a la misma viga se remueve uno de sus apoyos, por ejemplo si se elimina el apoyo derecho, entonces es inestable (Fig. 3). Por otro lado, el número de reacciones es igual a dos, mientras que el número de ecuaciones sigue siendo tres. En este caso, la estructurase dice hipostática. La estructura presenta un movimiento de cuerpo rígido. Esto significa que aunque haya desplazamientos no nulos en alguno de sus nudos, los esfuerzos internos son nulos. Es importante remarcar que los desplazamientos así obtenidos son indeterminados. Para el ejemplo mostrado tanto el giro en el nudo 1 como el giro y el desplazamiento del nudo 2 son no nulos

De igual forma,si se elimina la reacción horizontal del apoyo izquierdo (esto se puede lograr transformando el apoyo de pasador fijo por el de otro rodillo como el del nudo 2), la viga presenta también un número menor de incógnitas que el de ecuaciones (Fig. 4). La estructura sigue siendo hipostática y el desplazamiento indeterminado se da en ambos nudos en la dirección horizontal. Esto también representa unmovimiento de cuerpo rígido. Nuevamente, los esfuerzos internos son nulos y los desplazamientos no se pueden evaluar.

Por último, considérese el caso contrario a los anteriores, es decir, en lugar de eliminar reacciones, se agregan apoyos a la misma viga (Fig. 5).

El empotramiento en el extremo izquierdo origina una nueva restricción al apoyo. Esta le impide girar, por lo que se tienen ahoracuatro reacciones incógnitas contra tres ecuaciones de equilibrio. A esta estructura se le dice hiperestática. Y a la diferencia entre el número de reacciones y el de ecuaciones proporcionadas por la estática se le conoce como grado de indeterminación estática (gie). Así, en este caso el gie = 1. La solución requiere que se planteen ecuaciones adicionales hasta igualar el número de ecuaciones con elde las incógnitas por determinar.

Se puede seguir incrementando el número de restricciones a los desplazamientos de los nudos. Por ejemplo, si se cambia el rodillo por otro empotramiento en el nudo 2 (Fig. 7), se impedirá tanto el desplazamiento horizontal como el giro en ese extremo. El número de incógnitas aumenta ahora a 6 y el gie = 3 ya que para todos los casos se trata de un problemaplano en el que se disponen de tres ecuaciones de equilibrio.

Las reacciones para estas condiciones de apoyo se muestran en la figura 8.

El mismo concepto puede aplicarse a estructuras espaciales. En este caso se dispone de seis ecuaciones de equilibrio las cuales implican tres sumas de fuerzas y tres de momentos: ΣFx,
ΣFy, ΣFz, ΣMx, ΣMy, ΣMz. Para ilustrar el caso espacial puede revisarse...